Matematyka.pl

Witam.

Zastanawiam się, czy, chcąc pokazać, że ciąg nie ma granicy, wystarczy pokazać, że zawiera dwa podciągi zbieżne do innych granic. Przykładowo, rozważmy taki ciąg
\(\displaystyle{ a_n = (-1)^{n+1}}\)
Biorąc podciąg liczb parzystych i nieparzystych, okazuje się, że są one zbieżne do innej granicy. Czy jest to wystarczający argument, aby wnieść o rozbieżności tego ciągu, czy trzeba jeszcze ten fakt udowodnić?

Tak, to dobry dowód. Na tej samej obserwacji można oprzeć prostsze rozumowanie. Niech \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{2}}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ (-1)^n\to a}\). Oczywiście \(\displaystyle{ a\in\RR}\), gdyż ciąg jest ograniczony. Dlatego dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<(-1)^n-a<\frac{1}{2}.}\) Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych mamy \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}<a<-\frac{1}{2}}\), a dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}}\). Obie nierówności przeczą sobie, więc \(\displaystyle{ a}\) nie istnieje.

Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) miał by granicę to \(\displaystyle{ \left| a_n-a_{n-1}\right| \rightarrow 0}\) co jest niemożliwe ponieważ \(\displaystyle{ \left| (-1)^{n+1}-(-1)^n\right|=2}\)

Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.

Więc tak, jeżeli znajdziesz dwa podciągi jakiegoś ciągu zbieżne do różnych granic, to nie może być on zbieżny.