Twierdzenie o trzech ciagach...

metal_man · Post autor: **metal_man** » 8 lis 2005, o 09:48

Prosilbym o wytlumaczenie tego twierdzenia. A dokladniej:

W skrocie mamy, ze:

\(\displaystyle{ a_{n}}\)≤\(\displaystyle{ b_{n}}\)≤\(\displaystyle{ c_{n}}\)

gdzie \(\displaystyle{ a_{n} , b_{n} , c_{n}}\) to ciagi.

I mamy cos takiego \(\displaystyle{ a_{n}=b_{n}=g}\)(ranica) to \(\displaystyle{ a_{n}=g}\)...

W zadaniach mamy jakis ciag i trzeba podac jego granice w oparciu o tw. o 3 ciagach...
Jak dobrac ciag \(\displaystyle{ a_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ c_{n}}\) - te skrajne po prawej i po lewej? Moze ktos to potlumaczyc??

Np.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{3} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}}\)

Aram · Post autor: **Aram** » 8 lis 2005, o 10:39

wystarczy:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{3}}}\)

metal_man · Post autor: **metal_man** » 8 lis 2005, o 15:24

Aram pisze:wystarczy:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{3}}}\)

Arbooz · Post autor: **Arbooz** » 8 lis 2005, o 15:35

No widzisz... Twierdzenie o trzech ciągach to metoda tak trochę trikowa...

Jest to pewne twierdzenie, które może Ci pomóc wyznaczyć granicę ciągu, lub pokazać, że jest ona rzeczywiście taka jak twierdzisz. Ale nie jest to żaden ścisły algorytm postępowania.
Nie każdą granicę da się wyznaczyć dzięki owemu twierdzeniu, a każdy z przypadków granic, które da się w ten sposób wyznaczyć może być inny. Liczy się tu tylko i wyłącznie pomysłowość rozwiązującego (który musi sobie WYMYŚLiĆ ciągi \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ c_n}\)), a tw. o 3 ciągach jest tylko pewnym faktem, który uzasadnia rozwiązanie.

BTW. jest to sytuacja podobna do tej, gdy coś jednocześnie odejmujemy i dodajemy do jednej strony równania i dzięki temu uzyskujemy jakieś ładne zwinięcie do iloczynu. Uczniowie często wtedy pytają nauczyciela: "a skąd mamy wiedzieć co trzeba odjąć i dodać?". Ano trzeba wymyślić ;]