Tw. o trzech ciągach

Grzyboo · Post autor: **Grzyboo** » 5 lis 2015, o 21:22

Mam taki przykład
\(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty}{\sqrt[n]{\frac{2^n + 5^n}{5^n + 7^n}}}}\)

Obstawiam, że trzeba skorzystać z tw. o trzech ciągach. Tylko jak zabrć się za to, gdy mamy taki oto ułamek pod pierwiastkiem? Jakimi dwoma ciągami to ograniczyć? Czy może z góry:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{5^n}{5^n + 7^n} + \frac{5^n}{5^n + 7^n}}}\)

a z dołu:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{5^n}{5^n + 7^n}}}\)

Dobrze rozumuję, czy jednak jakoś inaczej należy?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 5 lis 2015, o 21:29

Osobno licznik, osobno mianownik. Jak to zrobisz, można też bezpośrednio. Spróbuj.

Grzyboo · Post autor: **Grzyboo** » 5 lis 2015, o 21:40

Tzn? W jaki sposób?

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 5 lis 2015, o 21:53

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{2^n+5^n}{5^n+7^n} }= \frac{ \sqrt[n]{2^n+5^n} }{ \sqrt[n]{5^n+7^n} }}\)

Teraz już wiesz, jak ograniczyć licznik i mianownik?

Grzyboo · Post autor: **Grzyboo** » 5 lis 2015, o 23:13

W sumie to nie. Czy tak?

Z góry:
\(\displaystyle{ \frac{5^n + 5^n}{5^n + 5^n}}}\)

Z dołu:
\(\displaystyle{ \frac{5^n + 5^n}{7^n + 7^n}}}\)

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 5 lis 2015, o 23:33

Licznik: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n}\le \sqrt[n]{2^n+5^n}\le \sqrt[n]{5^n+5^n}}\).
Mianownik podobnie. Liczysz dwie granice osobno, bo granica ilorazu to iloraz granic.