Matematyka.pl

Który z tych ciągów jest zbieżny ?
\(\displaystyle{ (\sin(n))^n}\)
\(\displaystyle{ n \sin(n)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\sin(n)} }\)

Zawsze np. \(\displaystyle{ \pi}\) można aproksymować liczbami wymiernymi ze znanego twierdzenia:

\(\displaystyle{ \left| \pi= \frac{a_{n}}{b_{n}} \right| < \frac{1}{b_{n}^2} }\)

a więc:

\(\displaystyle{ \left| \pi b_{n}-a_{n}\right| < \frac{1}{b_{n}} }\)

Można z tego wywnioskować, że np. druga granica tworzy zbiór gęsty a więc nie ma jej jako takiej...

Rozbieżność \(\displaystyle{ n\sin n}\) widać natychmiast. Wartości \(\displaystyle{ \sin n}\) gęsto wypełniają \(\displaystyle{ [-1,1]}\) więc istnieją ciągi \(\displaystyle{ p_n}\) oraz \(\displaystyle{ q_n}\) liczb naturalnych dla których \(\displaystyle{ p_n\sin p_n\to \infty}\) oraz \(\displaystyle{ q_n\sin q_n\to -\infty}\). Jeśli o \(\displaystyle{ (\sin n)^n}\) chodzi to oczywiście można znaleźć ciąg \(\displaystyle{ z_n}\) taki, że \(\displaystyle{ (\sin z_n)^{z_n}\to 0}\) wystarczy aby przykładowo \(\displaystyle{ \sin z_n\to 1/2}\) co jak już było wspomniane można uczynić. Jednak z drugiej strony można też znaleźć ciągi \(\displaystyle{ p_n}\), \(\displaystyle{ q_n}\) takie, że
oraz \(\displaystyle{ q_n}\) jest nieparzyste (można znaleźć takie ciągi dla każdej niewymiernej liczb tu \(\displaystyle{ \pi/2}\); Problems in Mathematical Analysis I: Real Numbers, Sequences and Series, M.T. Nowak W.J. Kaczor, zadanie 1.1.14 lub 1.1.20) lub innymi słowy Ponieważ w prawostronnej okolicy zera \(\displaystyle{ \cos }\) maleje to Mamy więc dalej a ponieważ, \(\displaystyle{ p_n \approx \frac{\pi}{2} q_n }\) to \(\displaystyle{ p_n< 2q^2_n}\) (tu można formalniej to robić ale nie ma takiej konieczności) więc tym samym pokazując, że \(\displaystyle{ \left| \sin p_n \right|^{p_n} \not\to 0}\). Więc ten ostatni powinien być zbieżny i przydać się może miara niewymierności \(\displaystyle{ \pi }\) (a dokładniej jej równoważna definicja opisana w linku).