Matematyka.pl

Ktoś pomoze mi znaleźć wzor na sumę szeregu ? Wiem, że trzeba to z tej zależności z całkami ale nie wiem jak to zrobić. Szereg wyglada tak:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}( \frac{x^{n}}{n})}\)

Podpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{1}{n} x ^{n}= \int_{0}^{x}t ^{n-1} \mbox{d}t}\).
No i różniczkowanie/całkowanie szeregu potęgowego wyraz po wyrazie tam, gdzie jest jedn. zbieżny (czyli promień zbieżności i te sprawy).

no ten przykład niby zrobiłem już, ale np. tego przykładu nie można tak zrobić :


\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(3n+1)x^{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(3n+1)x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } 3nx^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } x ^{n}= 3\sum_{n=0}^{ \infty }nx^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } x ^{n}}\)
To drugie to dla \(\displaystyle{ \left| x\right|<1}\) przyjemny szereg geometryczny, a to pierwsze to \(\displaystyle{ 3x \sum_{n=1}^{ \infty } nx ^{n-1}=3x \sum_{n=1}^{ \infty } (x^{n})'=...}\)

A np. takie coś ?:

Bo przy rózniczkowaniu ten wyraz 'n' na dole z 0 przechodzi na 1, i jak już mam 0 w tym zróżniczkowanym to muszę coś tam pozmieniać żeby mieć na dole jeden:



\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}[(-1)^{n}(2n+1)x^{2n}] = \sum_{n=1}^{\infty}[(-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2}]}\)

Dobrze ?

Twoje przekształcenie (a właściwie to zmiana indeksowania) jest poprawne, ale w żaden sposób nie prowadzi do rozwiązania, chyba że czegoś nie widzę...

a już inaczej to zrobiłem, bo chciałem żeby to była pochodna jakiegoś innego szeregu ale nie da się i tak i trzeba tak jak Ty zrobiłeś w poprzednim na sume dwóch zbieżnych szeregów dla jakichś tam określonych x.