Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) będą liczbami niewymiernymi i \(\displaystyle{ \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\beta} +1}\). Udowodnić, że w ciągu \(\displaystyle{ a_n = \lfloor n\alpha \rfloor}\) każda nieujemna liczba całkowita jest o jeden raz więcej niż w ciągu \(\displaystyle{ b_n = \lfloor n\beta \rfloor}\).

\(\displaystyle{ \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\beta} +1}\)

z tego:

\(\displaystyle{ \beta= \frac{\alpha}{1-\alpha} }\)

załóżmy, że:

\(\displaystyle{ 0<\alpha<1}\)

wtedy:

\(\displaystyle{ a_{n}=\left\lfloor n\alpha \right\rfloor , b_{n}=\left\lfloor \frac{n\alpha}{1-\alpha} \right\rfloor}\)

Chcemy się dowiedzieć dla ilu \(\displaystyle{ n}\) oba ciągi mieszczą się w przedziałach: \(\displaystyle{ \left( k-1;k\right) }\)

rozwiążęmy dwie podwójne nierówności:

1) \(\displaystyle{ k-1<n\alpha<k}\)

oraz:

2) \(\displaystyle{ k-1< \frac{n\alpha}{1-\alpha}<k}\)

rozwiązaniem 1) jest:

\(\displaystyle{ \frac{k}{\alpha} - \frac{1}{\alpha} <n< \frac{k}{\alpha} }\)

rozwiązaniem 2) jest:

\(\displaystyle{ \frac{k}{\alpha} - \frac{1}{\alpha}-k+1 <n< \frac{k}{\alpha}-k }\)

Widać więc, że miara przedziału rozwiązań (1) w , którym znajdują się liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\) wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\alpha} }\)

Natomiast miara przedziału rozwiązań (2) w , którym znajdują się liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\) wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\alpha} -1 }\)

A więc jest o jeden krótsza co daje tezę zadania...

Zakładałęm, że alfy są mniejsze od jeden , a prawdopodobnie dla:\(\displaystyle{ \alpha>1}\) będzie analogiczny tok rozumowania...

Nie do końca:
w odcinku `(0.9,3.1)`, który ma długość `2.2` są trzy liczby całkowite, a w odcinku o jeden krótszym `(0.5,1.7)` jest tylko jedna liczba całkowita.
Trzeba jeszcze coś zauważyć, żeby rozwiązanie było poprawne.

Zadanie nie do końca jest prawdziwe:
Gdy `\alpha>2`, to `\beta<0`, więc w ciagu `b_n` są same liczby nieujemne. Gdyby teza była prawdziwa, to w ciągu `a_n` każda liczba całkowita musiałaby wystąpić dokładnie jeden raz a tak nie jest, bo np jedynka w nim nie wystąpi.

fakt to prawda nie uwypukliłem tego co w sumie było nawet zawarte w moim rozwiązaniu a mianowicie w pierwszym przypadku mamy:

\(\displaystyle{ c_{1}<n<c_{2}}\)

drugi przypadek:

\(\displaystyle{ c_{1}-k+1<n<c_{2}-k}\)

gdzie: \(\displaystyle{ c_{1} , c_{2}}\) - niewymierne a \(\displaystyle{ k, k+1}\) - całkowite

więc widać, że niewymierne ładnie zjeżdżają w dół nie tworząc sytuacji patologicznych takich jak pokazał a4karo,
można nawet wypowiedzieć się w sposób naukowy, że oba po lewej i oba po prawej przystają modulo \(\displaystyle{ \ZZ}\) co raczej nie powinno doprowadzić do patologii...