Matematyka.pl

Funkcję \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{3}{1-2x}}\) rozwinąć w szereg potęgowy. Dla jakich x otrzymany szereg jest zbieżny?

Czy rozwinięcie będzie wyglądało tak:
\(\displaystyle{ \sum_{ 1 }^{ \infty }2 ^{n+3} \cdot x ^{n}}\)?

xyz900 pisze:Funkcję \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{3}{1-2x}}\) rozwinąć w szereg potęgowy.
Czy rozwinięcie będzie wyglądało tak: \(\displaystyle{ \sum_{ 1 }^{ \infty }2 ^{n+3} \cdot x ^{n}}\)?

Nie.
Pokaż swoje rachunki, to będzie można wskazać błąd.

Q.

Po pierwsze - sumowanie jest od zera, a nie od jedynki.
Po drugie - należy pisać po jakiej zmiennej sumujemy. Dlatego powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{3}{1-2x}=3\cdot \sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n}\)
Po trzecie - jeśli wciągniesz trójkę do sumy, to pod sumą otrzymasz \(\displaystyle{ 3\cdot 2^n \cdot x^n}\).

Q.

Dziękuję!
A wtedy pochodna rzędu 12 funkcji \(\displaystyle{ f}\) w zerze będzie:
\(\displaystyle{ f ^{\left( 12\right) } \left( 0\right) =3 \cdot 2 ^{12} \cdot 12!}\) ?:)