Matematyka.pl

Obliczyć taką granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n \to + \infty} (1+ \sqrt{2}+ \sqrt[3]{3}+...+ \sqrt[n]{n} ) \ln(1+ \frac{1}{2n} )}\)

\(\displaystyle{ \left( \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \right) \ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right) =\ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{\sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n}} }\)

Zajmijmy się teraz wykładnikiem:

\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n}}\)

biorąc pod uwagę kształt funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=x^{ \frac{1}{x} }}\)

łatwo ten wykładnik oszacować:

\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+\int_{3}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \int_{2}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)

lub inaczej:

\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{3} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{n}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{2} x^{ \frac{1}{x} } dx +\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)

możemy teraz podstawić stałe:

\(\displaystyle{ A=\sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{3} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{n}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx}\) - ostatnia całka jest mocno ograniczona od dołu przez jedynkę...

\(\displaystyle{ B=\sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{2} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)

nasza nierówność będzie wyglądać tak:

\(\displaystyle{ A+\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le B+\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)

Jak widać stałe: \(\displaystyle{ A, B}\) nie będą wpływać na granicę ciagu bo na stałych będzie się zerowało...

policzymy natomiast całkę:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx= \int_{1}^{n} e^{ \frac{\ln x}{x} }= \int_{1}^{n} \left( 1+ \frac{\ln x}{x} + \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{(\ln x)^k}{k!x^k} \right)dx= \int_{1}^{n} dx + \int_{1}^{n} \frac{\ln x}{x} dx + \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{k!} \int_{1}^{n} \frac{(\ln x)^k}{x^k} dx}\)

biorąc pod uwagę, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{k!} \int_{1}^{n} \frac{(\ln x)^k}{x^k} dx= \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{\left( k-1\right)^{k+1} }=a< \infty }\)

natomiast:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} \frac{\ln x}{x} dx= \frac{1}{2} \ln^2 n}\)

oraz:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} dx=n-1}\)

wystarczy teraz obliczyć:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{\frac{1}{2} \ln^2 n}= \lim_{n\to\infty}\ln \left[ \left(1+ \frac{1}{2n} \right)^{2n} \right]^{ \frac{\ln^2 n}{4n} }= \lim_{n\to\infty}\frac{\ln^2 n}{4n} \cdot \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{2n} =0 \cdot 1=0 }\)

bo:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln^2 n}{4n}=0}\)

wiadomo też, że dla stałej \(\displaystyle{ C}\):

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^C=0}\)

zostaje już tylko do policzenia:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+\frac{1}{2n}\right)^{n-1}= \lim_{n\to\infty} \ln \left[ \left( 1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\right]^{ \frac{1}{2} }- \lim_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)=\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} }\)

co sugeruje, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \right) \ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2} }\)

Skoro \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \to 1}\), to z twierdzenia o zbieżności średnich:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} + \ldots + \sqrt[n]{n}}{n} = 1}\)

W połączeniu z równością

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)}{\frac{1}{2n}} = 1}\)

natychmiast otrzymujemy, że wyjściowa granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Zacytuję tu klasyka:

no a z twierdzenia Stolza

Jak go spotkam bo idę na piwo to zapytam.

Z tego też wynika, że szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \sqrt[n]{n}-1 \right) }\) jest rozbieżny...

Twierdzenie o zbieżności średnich jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Stolza.