Przyjemna Granica
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Przyjemna Granica
Obliczyć taką granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n \to + \infty} (1+ \sqrt{2}+ \sqrt[3]{3}+...+ \sqrt[n]{n} ) \ln(1+ \frac{1}{2n} )}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Przyjemna Granica
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \right) \ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right) =\ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{\sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n}} }\)
Zajmijmy się teraz wykładnikiem:
\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n}}\)
biorąc pod uwagę kształt funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=x^{ \frac{1}{x} }}\)
łatwo ten wykładnik oszacować:
\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+\int_{3}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \int_{2}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)
lub inaczej:
\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{3} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{n}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{2} x^{ \frac{1}{x} } dx +\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)
możemy teraz podstawić stałe:
\(\displaystyle{ A=\sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{3} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{n}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx}\) - ostatnia całka jest mocno ograniczona od dołu przez jedynkę...
\(\displaystyle{ B=\sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{2} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)
nasza nierówność będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ A+\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le B+\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)
Jak widać stałe: \(\displaystyle{ A, B}\) nie będą wpływać na granicę ciagu bo na stałych będzie się zerowało...
policzymy natomiast całkę:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx= \int_{1}^{n} e^{ \frac{\ln x}{x} }= \int_{1}^{n} \left( 1+ \frac{\ln x}{x} + \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{(\ln x)^k}{k!x^k} \right)dx= \int_{1}^{n} dx + \int_{1}^{n} \frac{\ln x}{x} dx + \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{k!} \int_{1}^{n} \frac{(\ln x)^k}{x^k} dx}\)
biorąc pod uwagę, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{k!} \int_{1}^{n} \frac{(\ln x)^k}{x^k} dx= \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{\left( k-1\right)^{k+1} }=a< \infty }\)
natomiast:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} \frac{\ln x}{x} dx= \frac{1}{2} \ln^2 n}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} dx=n-1}\)
wystarczy teraz obliczyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{\frac{1}{2} \ln^2 n}= \lim_{n\to\infty}\ln \left[ \left(1+ \frac{1}{2n} \right)^{2n} \right]^{ \frac{\ln^2 n}{4n} }= \lim_{n\to\infty}\frac{\ln^2 n}{4n} \cdot \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{2n} =0 \cdot 1=0 }\)
bo:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln^2 n}{4n}=0}\)
wiadomo też, że dla stałej \(\displaystyle{ C}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^C=0}\)
zostaje już tylko do policzenia:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+\frac{1}{2n}\right)^{n-1}= \lim_{n\to\infty} \ln \left[ \left( 1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\right]^{ \frac{1}{2} }- \lim_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)=\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} }\)
co sugeruje, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \right) \ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2} }\)
Zajmijmy się teraz wykładnikiem:
\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n}}\)
biorąc pod uwagę kształt funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=x^{ \frac{1}{x} }}\)
łatwo ten wykładnik oszacować:
\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+\int_{3}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \int_{2}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)
lub inaczej:
\(\displaystyle{ \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{3} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{n}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{2} x^{ \frac{1}{x} } dx +\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)
możemy teraz podstawić stałe:
\(\displaystyle{ A=\sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{3} x^{ \frac{1}{x} } dx + \int_{n}^{n+1} x^{ \frac{1}{x} } dx}\) - ostatnia całka jest mocno ograniczona od dołu przez jedynkę...
\(\displaystyle{ B=\sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2} - \int_{1}^{2} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)
nasza nierówność będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ A+\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx \le \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \le B+\int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx}\)
Jak widać stałe: \(\displaystyle{ A, B}\) nie będą wpływać na granicę ciagu bo na stałych będzie się zerowało...
policzymy natomiast całkę:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} x^{ \frac{1}{x} } dx= \int_{1}^{n} e^{ \frac{\ln x}{x} }= \int_{1}^{n} \left( 1+ \frac{\ln x}{x} + \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{(\ln x)^k}{k!x^k} \right)dx= \int_{1}^{n} dx + \int_{1}^{n} \frac{\ln x}{x} dx + \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{k!} \int_{1}^{n} \frac{(\ln x)^k}{x^k} dx}\)
biorąc pod uwagę, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{k!} \int_{1}^{n} \frac{(\ln x)^k}{x^k} dx= \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{\left( k-1\right)^{k+1} }=a< \infty }\)
natomiast:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} \frac{\ln x}{x} dx= \frac{1}{2} \ln^2 n}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{n} dx=n-1}\)
wystarczy teraz obliczyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{\frac{1}{2} \ln^2 n}= \lim_{n\to\infty}\ln \left[ \left(1+ \frac{1}{2n} \right)^{2n} \right]^{ \frac{\ln^2 n}{4n} }= \lim_{n\to\infty}\frac{\ln^2 n}{4n} \cdot \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{2n} =0 \cdot 1=0 }\)
bo:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln^2 n}{4n}=0}\)
wiadomo też, że dla stałej \(\displaystyle{ C}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^C=0}\)
zostaje już tylko do policzenia:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \ln \left( 1+\frac{1}{2n}\right)^{n-1}= \lim_{n\to\infty} \ln \left[ \left( 1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\right]^{ \frac{1}{2} }- \lim_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{2n} \right)=\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} }\)
co sugeruje, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \sqrt[1]{1}+ \sqrt[2]{2}+ \sqrt[3]{3} +...+ \sqrt[n]{n} \right) \ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2} }\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Przyjemna Granica
Skoro \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \to 1}\), to z twierdzenia o zbieżności średnich:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} + \ldots + \sqrt[n]{n}}{n} = 1}\)
W połączeniu z równością
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)}{\frac{1}{2n}} = 1}\)
natychmiast otrzymujemy, że wyjściowa granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} + \ldots + \sqrt[n]{n}}{n} = 1}\)
W połączeniu z równością
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)}{\frac{1}{2n}} = 1}\)
natychmiast otrzymujemy, że wyjściowa granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Przyjemna Granica
Jak go spotkam bo idę na piwo to zapytam.
Z tego też wynika, że szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \sqrt[n]{n}-1 \right) }\) jest rozbieżny...
Z tego też wynika, że szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \sqrt[n]{n}-1 \right) }\) jest rozbieżny...