Dzień dobry,
mam problem z obliczeniem granicy takiego ciągu
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt{n(n-\sqrt{n^2-1)}}}\)
Jak na złość ciągle wychodzi mi 0, a powinno być \(\displaystyle{ \sqrt{2}/2}\) (taka odpowiedź jest w książce). Gdyby ktoś mógł mnie naprowadzić, dać jakąś wskazówkę, byłbym bardzo wdzięczny.
Z góry dziękuję
Problem z granicą ciągu
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Problem z granicą ciągu
Hint: \(\displaystyle{ n- \sqrt{n^2-1}= \frac{1}{n+ \sqrt{n^2-1}} }\) wtedy wyjdzie tak jak w książce.
PS pokaż jak liczysz bo skoro dostajesz \(\displaystyle{ 0}\) to pewnie robisz coś nielegalnego, a to warto poprawić. Więc pewnie znajdzie się ktoś na forum kto Cię poprawi jak zobaczy rachunki.
PS pokaż jak liczysz bo skoro dostajesz \(\displaystyle{ 0}\) to pewnie robisz coś nielegalnego, a to warto poprawić. Więc pewnie znajdzie się ktoś na forum kto Cię poprawi jak zobaczy rachunki.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 sty 2022, o 16:55
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 2 razy
Re: Problem z granicą ciągu
Jasne, już pokazuję:
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n-\sqrt{n^2-1)}} = \sqrt{n^2 - n\sqrt{n^2-1}} = \sqrt{n^2-n\sqrt{n^2(1- \frac{1}{n^2})}} = \sqrt{n^2-n\sqrt{n^2} \cdot \sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = \sqrt{n^2-n^2\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = \sqrt{n^2(1-\sqrt{1 - \frac{1}{n^2} })} = n\sqrt{1-\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = n\sqrt{1-1} = 0 }\)
Tak robiłem i patrzyłem kilka razy w poszukiwaniu błędu (wiedziałem, że tu jest), ale nie mogłem go namierzyć
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n-\sqrt{n^2-1)}} = \sqrt{n^2 - n\sqrt{n^2-1}} = \sqrt{n^2-n\sqrt{n^2(1- \frac{1}{n^2})}} = \sqrt{n^2-n\sqrt{n^2} \cdot \sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = \sqrt{n^2-n^2\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = \sqrt{n^2(1-\sqrt{1 - \frac{1}{n^2} })} = n\sqrt{1-\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = n\sqrt{1-1} = 0 }\)
Tak robiłem i patrzyłem kilka razy w poszukiwaniu błędu (wiedziałem, że tu jest), ale nie mogłem go namierzyć
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Problem z granicą ciągu
Tu jest problem. Po pierwsze tu nie ma równości koniec kropka. Znak \(\displaystyle{ =}\) to ma być prawdziwa równość, a tu jej nie ma. Poza tym nawet gdyby napisać\(\displaystyle{ n\sqrt{1-\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = n\sqrt{1-1} }\)
\(\displaystyle{ \red{\lim_{n \to \infty } n\sqrt{1-\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = \lim_{n \to \infty }n\sqrt{1-1} } }\)
co prawdopodobnie podświadomie robisz to nadal byłoby źle ponieważ przechodzisz z częścią \(\displaystyle{ n}\) to nieskończoności, a z częścią nie. Tak nie wolno robić. Mamy tu symbol \(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\).