Problem z granicą ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
PanIan1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 sty 2022, o 16:55
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 2 razy

Problem z granicą ciągu

Post autor: PanIan1 »

Dzień dobry,
mam problem z obliczeniem granicy takiego ciągu
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt{n(n-\sqrt{n^2-1)}}}\)

Jak na złość ciągle wychodzi mi 0, a powinno być \(\displaystyle{ \sqrt{2}/2}\) (taka odpowiedź jest w książce). Gdyby ktoś mógł mnie naprowadzić, dać jakąś wskazówkę, byłbym bardzo wdzięczny.
Z góry dziękuję
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Problem z granicą ciągu

Post autor: Janusz Tracz »

Hint: \(\displaystyle{ n- \sqrt{n^2-1}= \frac{1}{n+ \sqrt{n^2-1}} }\) wtedy wyjdzie tak jak w książce.

PS pokaż jak liczysz bo skoro dostajesz \(\displaystyle{ 0}\) to pewnie robisz coś nielegalnego, a to warto poprawić. Więc pewnie znajdzie się ktoś na forum kto Cię poprawi jak zobaczy rachunki.
PanIan1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 sty 2022, o 16:55
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 2 razy

Re: Problem z granicą ciągu

Post autor: PanIan1 »

Jasne, już pokazuję:

\(\displaystyle{ \sqrt{n(n-\sqrt{n^2-1)}} = \sqrt{n^2 - n\sqrt{n^2-1}} = \sqrt{n^2-n\sqrt{n^2(1- \frac{1}{n^2})}} = \sqrt{n^2-n\sqrt{n^2} \cdot \sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = \sqrt{n^2-n^2\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = \sqrt{n^2(1-\sqrt{1 - \frac{1}{n^2} })} = n\sqrt{1-\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = n\sqrt{1-1} = 0 }\)

Tak robiłem i patrzyłem kilka razy w poszukiwaniu błędu (wiedziałem, że tu jest), ale nie mogłem go namierzyć
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Problem z granicą ciągu

Post autor: Janusz Tracz »

\(\displaystyle{ n\sqrt{1-\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = n\sqrt{1-1} }\)
Tu jest problem. Po pierwsze tu nie ma równości koniec kropka. Znak \(\displaystyle{ =}\) to ma być prawdziwa równość, a tu jej nie ma. Poza tym nawet gdyby napisać
\(\displaystyle{ \red{\lim_{n \to \infty } n\sqrt{1-\sqrt{1- \frac{1}{n^2} }} = \lim_{n \to \infty }n\sqrt{1-1} } }\)
co prawdopodobnie podświadomie robisz to nadal byłoby źle ponieważ przechodzisz z częścią \(\displaystyle{ n}\) to nieskończoności, a z częścią nie. Tak nie wolno robić. Mamy tu symbol \(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\).
PanIan1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 sty 2022, o 16:55
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 2 razy

Re: Problem z granicą ciągu

Post autor: PanIan1 »

Rzeczywiście! Aj, taki głupi błąd. Naprawdę bardzo dziękuję za pomoc
ODPOWIEDZ