Matematyka.pl

Witam

chciałbym prosić o pomoc w obliczeniu granicy takich ciągów:

1. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[]{n^{3}+1} }{ \sqrt[3]{n^{5}+1}+1 }}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+...+(2n-1)}{2+4+...+2n}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}- \sqrt{n}\right)}\)

prosiłbym też o jakieś wyjaśnienie krok po kroku jak dojść do rozwiązania.

Dziękuję.

Witam

1.
Z twierdzenia o 3 ciągach mamy, że :

\(\displaystyle{ 0=\lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[]{n^{3}} }{ 2\sqrt[3]{n^{5}+n^{5}}} \le \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[]{n^{3}+1} }{ \sqrt[3]{n^{5}+1}+1} \le \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[]{n^{3}+n^{3}} }{ \sqrt[3]{n^{5}}}=0}\)

stąd szukana granica również wynosi 0.

2.Zauwazamy, ze licznik i mianownik podanego wyrażenia są suami pewnych ciągów arytmetycznych.
wyznaczamy ich sumy i dalej mamy, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+...+(2n-1)}{2+4+...+2n}=\lim_{n \to \infty } \frac {n^{2}}{(n+1)(n)}=1}\)


3. Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ a-b = \frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}- \sqrt{n}\right) = \lim_{n \to \infty } \left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}-\sqrt{n}\right) \frac{\left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}+\sqrt{n}\right)}{\left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}+\sqrt{n}\right)}=\lim_{n \to \infty } \frac{\left( (n+6 \sqrt{n} +1)- (n)\right)}{\left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}+\sqrt{n}\right)}=\lim_{n \to \infty}\frac{6 \sqrt{n}+1}{ \sqrt{n} ( \sqrt{1+6\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}}+1)}=3}\)

W 2) będzie z sum arytmetycznych:
\(\displaystyle{ \ldots=\lim_{n\to \infty} \frac{n^2}{n(n+1)}=1}\)

ale można jeszcze z tw Stolza:
\(\displaystyle{ \ldots=\lim_{n\to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}(2k-1)-\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)}{\sum_{k=1}^{n}2k-\sum_{k=1}^{n-1}2k}=\lim_{n\to \infty} \frac{2n-1}{2n}=1}\)

chyba szybciej.

Świetnie, dziękuję bardzo.

Kamil_B pisze: 3. Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ a-b = \frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}- \sqrt{n}\right) = \lim_{n \to \infty } \left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}-\sqrt{n}\right) \frac{\left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}+\sqrt{n}\right)}{\left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}+\sqrt{n}\right)}=\lim_{n \to \infty } \frac{\left( (n+6 \sqrt{n} +1)- (n)\right)}{\left( \sqrt{n+6 \sqrt{n} +1}+\sqrt{n}\right)}=\lim_{n \to \infty}\frac{6 \sqrt{n}+1}{ \sqrt{n} ( \sqrt{1+6\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}}+1)}=3}\)

Ciekawe, bo szedłem tą drogą, ale wynik jakiś dziwny wyszedł. Musiałem sie pomylić w jakichś drobnych rachunkach.


Odnośnie przykładu
1. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[]{n^{3}+1} }{ \sqrt[3]{n^{5}+1}+1 }}\)
to oczywiście, twierdzenie o trzech ciągach świetnie tu pasuje, ale czy możliwe jest rozwiązanie tego przykładu poprzez przekształcenia arytmetyczne?

Co do 1 mozna spróbować tak :

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[]{n^{3}+1} }{ \sqrt[3]{n^{5}+1}+1 }=\lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[]{n^{3}(1+\frac{1}{n^{3}})} }{ \sqrt[3]{n^{5}(1+\frac{1}{n^{5}})}+\sqrt[3]{n^{5}}\frac{1}{\sqrt[3]{n^{5}}}}=\lim_{n \to \infty } \frac{ {n^{\frac{3}{2}}(\sqrt[]{1+\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}})} }{ {n^{\frac{5}{3}}(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^{5}}}+\frac{1}{n^{\frac{5}{3}}})} }=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{6}}}=0}\)

Pozdrawiam

Ostatnie przejście jest niepoprawne ale poza tym ok.

Dzięki wielkie : )

Pozdrawiam