Matematyka.pl

Oblicz granicę ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1+2 \sqrt{n} }{n + 12}}\)
Odpowiedź powinna wyjść 0. Nie wiem za bardzo, jak się za to zabrać. Proszę o pomoc.

Zauważ że:

\(\displaystyle{ \frac{1+2 \sqrt{n} }{n + 12}=\frac{1+2 \sqrt{n} }{n + 12} \cdot \frac{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }{\frac{1}{ \sqrt{n} }}= \frac{\frac{1}{ \sqrt{n} }+2}{ \sqrt{n} +\frac{12}{ \sqrt{n} } }}\)

Zatem licznik dąży do \(\displaystyle{ 2}\) a mianownik jest nieograniczony i dąży do \(\displaystyle{ \infty}\). Czyli coś skończonego dzielisz przez bardzo dużo więc dostaniesz \(\displaystyle{ 0}\) w granicy.

A mogę np. \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) wyłączyć przed nawias? Czy to byłoby poprawne?

Możesz tylko, że uzyskasz dokładnie taki sam efekt jak równość którą Ci napisałem. Ale spróbuj w celach dydaktycznych powinnaś to zrobić i sama się przekonać.

Przy takich ciągach dobrze jest podzielić licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1+2 \sqrt{n} }{n + 12}=\lim_{n\to\infty} \frac{1+2 \sqrt{n} }{n + 12}\cdot \frac{ \frac{1}{n} }{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{1}{n} +2 \frac{ \sqrt{n} }{n} }{1+ \frac{12}{n} }=\lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{ \sqrt{n} } }{1+ \frac{12}{n}}}\)

Łatwo widać, że licznik tego ułamka dąży do zera, a mianownik - do jednego. Wniosek: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0}\)

ellexxx pisze:A mogę np. \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) wyłączyć przed nawias? Czy to byłoby poprawne?

Ja sądzę, że powinnaś to zrobić przez napisaniem pierwszego posta