Matematyka.pl

Oblicz sumę \(\displaystyle{ (2+\frac{1}{2})^{2}}\)+\(\displaystyle{ (4+\frac{1}{4})^{2}}\) +...+\(\displaystyle{ ( 2^{n}+ \frac{1}{ 2^{n} } )^{2}}\)

\(\displaystyle{ \left(2 + \frac{1}{2}\right)^2 = 4 + 2 + \frac{1}{4} = \left(4 + \frac{1}{4}\right) + 2}\)

\(\displaystyle{ \left(4 + \frac{1}{4}\right)^2 = 16 + 2 + \frac{1}{16} = \left(16 + \frac{1}{16}\right) + 2}\)

\(\displaystyle{ \left(2^n + \frac{1}{2^n}\right)^2 = 2^{2n} + 2 + \frac{1}{2^{2n}} = \left(2^{2n} + \frac{1}{2^{2n}}\right) + 2}\)

Teraz możemy to rozbić na trzy niezależne sumy:

\(\displaystyle{ a = \underbrace{2+2+\ldots+2}_{n}}\)

\(\displaystyle{ b = \underbrace{4+16+\ldots+4^n}_{n}}\)

\(\displaystyle{ c = \underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}_{n}}\)

Teraz powinno być prostsze, zdecydowanie.

JakimPL pisze: Teraz możemy to rozbić na trzy niezależne sumy:

\(\displaystyle{ a = \underbrace{2+2+\ldots+2}_{n}}\)

\(\displaystyle{ b = \underbrace{4+16+\ldots+4^n}_{n}}\)

\(\displaystyle{ c = \underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}_{n}}\)

Teraz powinno być prostsze, zdecydowanie.

I co teraz z tym trzema sumami trzeba zrobić, dodać to ??
Prosił bym o jeszcze jakąś wskazówkę bo kompletnie nie rozumiem co tu trzeba zrobić.

Skorzystaj ze wzoru na sumę \(\displaystyle{ n}\)-wyrazowego ciągu geometrycznego (ilorazem w pierwszym jest \(\displaystyle{ 1}\), w drugim \(\displaystyle{ 4}\), a w trzecim \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)). Gdy już to zrobisz, sumą całego wyrażenia będzie \(\displaystyle{ a+b+c}\).