a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to ∞} \sqrt[n+1]{2n+3}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to ∞} \sqrt[n+2]{3^{n} + 4^{n+1} }}\)
Oblicz granice
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Oblicz granice
Korzystamy z równości granic:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}.}\)
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n+1]{2n+3} = \lim_{n\to \infty} \frac{2(n+1) +3}{2n +3} = 1. }\)
b)
podobnie.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}.}\)
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n+1]{2n+3} = \lim_{n\to \infty} \frac{2(n+1) +3}{2n +3} = 1. }\)
b)
podobnie.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granice
To oczywista bzdura. Takiej równości nie ma. Przykładem jest ciąg `x_n=2+(-1)^n`. Granicą prawej strony jest `1`, a granica lewej strony nie istnieje.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Oblicz granice
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{n}} = \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{1}\cdot \frac{x_{2}}{x_{1}}\cdot \frac{x_{3}}{x_{2}} \cdot \ \ ...\ \ \cdot \frac{x_{n}}{x_{n-1}}} = \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n}}{x_{n-1}} }\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granice
I co to niby ma być? Kontrprzykład Ci nie wystarczy?
Dodano po 2 minutach 38 sekundach:
Sorki, pomyliłem strony: granica z lewej jest jedynką, a prawej nie istnieje
Dodano po 2 minutach 38 sekundach:
Sorki, pomyliłem strony: granica z lewej jest jedynką, a prawej nie istnieje
Ostatnio zmieniony 24 lis 2023, o 06:36 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cytowanie całej treśći bezpośrednio pod postem
Powód: Cytowanie całej treśći bezpośrednio pod postem
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Oblicz granice
I to ma być ta granica, bo wiemy, że i ta równość zachodzi:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}} = \lim_{n\to \infty} x_{n}.}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}} = \lim_{n\to \infty} x_{n}.}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granice
A w moim kontrprzykładzie są ujemne??
Januszu, to nie jest tak, że każdy wzorek, który gdziekolwiek widziałeś jest prawdziwy. Zwykle przed takim wzorkiem jest parę słów, które nazywają się założeniami. Uczą tego w podstawówce
Januszu, to nie jest tak, że każdy wzorek, który gdziekolwiek widziałeś jest prawdziwy. Zwykle przed takim wzorkiem jest parę słów, które nazywają się założeniami. Uczą tego w podstawówce
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Oblicz granice
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n+2]{3^{n} + 4^{n+1}} = \lim_{n\to \infty} \frac{3^{n}+ 4^{n+1}}{3^{n-1} + 4^{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{4^{n}\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{n} +4 \right]}{4^{n}\left[\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{n} +1\right]} = 4.}\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Oblicz granice
Też na jedynkę
Dodano po 8 minutach 39 sekundach:
Mamy `n+1<2n+3<3(n+1)`, więc
\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{n+1}\le \sqrt[n+1]{2n+3}\le \sqrt[n+1]3\ \sqrt[n+1]{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac14 \cdot 4^{n+2}=4^{n+1}<3^n+4^{n+1}<3^n+4^{n+2}<2\cdot 4^{n+2}}\) ...
Dodano po 8 minutach 39 sekundach:
Mamy `n+1<2n+3<3(n+1)`, więc
\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{n+1}\le \sqrt[n+1]{2n+3}\le \sqrt[n+1]3\ \sqrt[n+1]{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac14 \cdot 4^{n+2}=4^{n+1}<3^n+4^{n+1}<3^n+4^{n+2}<2\cdot 4^{n+2}}\) ...
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Oblicz granice
Czemu?granica z lewej jest jedynką, a prawej nie istnieje
Powinno być 3
\(\displaystyle{ a_{n}=2+(-1)^n \rightarrow 1 \vee 3}\)
Ma dwa stany skupienia
A Janusza wzór tak można zinterpretować:
\(\displaystyle{ \frac{2+(-1)^n}{2+(-1)^{n-1}} \rightarrow \frac{1}{3} \vee \frac{3}{1} =3}\)
w jednym punkcie się zgadza...
Więc sądzę, że wzór Janusza pasuje dla ciągów o tylko jednym stanie skupienia...
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Oblicz granice
Gdyż to jest twierdzenie o zbieżności średnich:
O ile granica ciągu istnieje to granica ciągu średnich Arytmetycznych ,Geometrycznych i Harmonicznych jego wyrazów także istnieje i są równe (dla G i H wyrazy ciągu są dodatnie).
O ile granica ciągu istnieje to granica ciągu średnich Arytmetycznych ,Geometrycznych i Harmonicznych jego wyrazów także istnieje i są równe (dla G i H wyrazy ciągu są dodatnie).
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kategoria:Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci