Matematyka.pl

Czy istnieje nieskończony podzbiór zbioru liczb naturalnych taki, że każda suma elementów tego zbioru nie jest potęgą liczby całkowitej o wykładniku większym od \(\displaystyle{ 1 }\)

Niech `p_n` będzie takim ciągiem liczb pierwszych, że `p_{n+1}>2p_n`.
Ciąg \(\displaystyle{ a_n=p_n!}\) spełnia wymagania.
Jeżeli `k_1<...<k_s`, to suma `a_{k_1}+...+a_{k_s}` jest równa \(\displaystyle{ p_{k_1}!(1+u)}\), gdzie `u` jest podzielne przez `p_{k_1}` na mocy twierdzenia Czebyszewa. Zatem `p_{k_1}` wchodzi do sumy z wykładnikiem `1`

Dodano po 11 minutach 47 sekundach:
Może być również ciąg `p_1`, `p_1p_2`, `p_1p_2p_3,`..., gdzie `p_i` są różnymi liczbami pierwszymi

No ale \(\displaystyle{ 2+ 2 \cdot 3 = 8 = 2^3}\)...,
\(\displaystyle{ 2+ 2 \cdot 3 \cdot 5= 32}\)

Faktycznie. Ten drugi sposób wymaga modyfikacji
`p_1, p_1^2p_2, p_1^2p_2^2p_3, ...`