Matematyka.pl

janusz47 pisze: ↑30 paź 2022, o 21:05
Jak zbadać znak tej różnicy ?

Czy to co zrobiłem powyżej odpowiada na to pytanie?

Nie odpowiada na to pytanie .

Mamy zbadać znak róznicy.

Myślałem, że właśnie udowodniłem, że znak tej różnicy to + w moim przedostatnim poście, ale jeśli nie jest to poprawnie, to nie mam pomysłu

Ta różnica jest ujemna.

Ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ x_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n+1) }\) jest ciągiem malejącym (ściśle malejącym).

Wynika to z nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < \ln\left(1+ \frac{1}{n+1}\right) < \ln\left(1 +\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}.}\)

Muszę się nie zgodzić, gdyż
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < \ln\left(1+ \frac{1}{n+1}\right)}\) nie jest prawdą na bazie nierówności \(\displaystyle{ \ln(1 + \frac{1}{n+1})<\frac{1}{n+1}}\), która wynika z nierówności \(\displaystyle{ \ln (1+x) \leq x}\), ponieważ ułamek ten jest różny od zera oznacza to, że ten logarytm jest zawsze mniejszy od x w tym przypadku, do tego jeśli ciąg ten był ściśle malejący, wtedy jeśli weźmiemy przybliżenia \(\displaystyle{ x_{1}=1-\ln(2) \approx 0.306}\), oraz \(\displaystyle{ x_{2}=\frac{3}{2}-\ln(3)\approx 0.401}\) to widzimy, że możemy odrzucić to założenie. Jednak dziękuję za pomoc, którą bardzo doceniam i rozumiem, że mogę ten fakt że ciąg ten jest ściśle rosnący teraz pozostawić bez indukcji, tak?

Druga i trzecia nierówność wynika ze zlogarytmowania logarytmem naturalnym nierówności na liczbę \(\displaystyle{ e: }\)

\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} < e < \left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n+1}. }\)

Nie wiem za bardzo co to znaczy i do czego się wiąże, ale powtarzam pytanie, czy już nie muszę przeprowadzać indukcji i mogę po prostu udowodnić badając znak różnicy, że ciąg ten jest rosnący?

Proszę o zlogarytmowanie logarytmem \(\displaystyle{ \ln(...) }\) tej nierówności i jej przekształcenie.

Do wykazania monotoniczności ciągu wystarczy badanie znaku różnicy \(\displaystyle{ x_{n+1} - x_{n} }\) w tym zadaniu.

@MartaMaWszy



Januszem47 nie powinnieneś się przejmować. On czasami pisze bzdury, a potem nie ma odwagi żeby się z nich wycofać. Brnie więc z bagno, ciągnąc za sobą cała powagę militarnej katedry.

Oczywiście ciąg nierówności, które janusz47 pokazał

uwaga! nieprawda pisze: \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < \ln\left(1+ \frac{1}{n+1}\right) < \ln\left(1 +\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}.}\)

nie jest prawdziwy i oczywiście nie wynika za zlogarytmowania znanej nierówności z `e`.

Jeżeli `x_n=1+1/2+...+1/n-\ln (n+1)`, do udowodnienia jego monotoniczności nie trzeba indukcji. Wystarczy zbadanie różnicy
\(\displaystyle{ x_{n+1}-x_n=\frac1{n+1} - \ln(n+2)+\ln (n+1)=\frac1{n+1} -\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)}\)

Ta różnica jest dodatnia, bo dla dowolnych `1<x\ne 0` zachodzi `x>\ln(1+x)`. Matematyka zna całe mnóstwo dowodów tego prostego faktu

a4karo: sprawdź , że druga i trzecia nierówność wynika ze wspomnanej nierówności.

Trzecia wynika, druga nie. A pierwsza jest nieprawdziwa.

\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} < e < \left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n+1} }\)

\(\displaystyle{ n \left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n}< \ln(e)=1 < (n+1)\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < \ln\left( 1+ \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}. }\)

W wyrażeniu
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < \ln\left(1+ \frac{1}{n+1}\right) \red{<} \ln\left(1 +\frac{1}{n}\right) \blue{<} \frac{1}{n}.}\)
druga nierówność to ta czerwona, a trzecia niebieska. No chyba że minister Błaszczak każe inaczej liczyć.