Matematyka.pl

Hej wszystkim, robię jedno zadanie z analizy i w trakcie indukcji doszedłem do takiej nierówności:
\(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N}} : \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}>\ln(\frac{n+3}{n+1})}\)
Wiem że dla liczb naturalnych jest to prawda, bo sprawdziłem to w wolframie, ale nie wiem jak to udowodnić, próbowałem zrobić kolejną indukcję, (jestem aż tak zdesperowany) lecz doszedłem do podobnego problemu, wiem że \(\displaystyle{ \ln(\frac{n+3}{n+1}) < \frac{2}{n+1}}\)
I próbowałem jakoś udowodnić to odległością między tymi funkjami, ale także bez rezultatu, jeśli ktoś ma pomysł na jakiś dowód, który powinien być w miarę prosty, bo jest to dopiero wprowadzenie do analizy, to będę wdzięczny.

Jeśli coś źle robię z indukcją, to podaję zadanie:
Udowodnij, że ciąg \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} - \ln(n+1)}\) jest monotoniczny

Wsk Zapisz `\ln(\frac{n+3}{n+1})` w postaci `\ln(n+3)-\ln(n+2)+\ln(n+2)-\ln(n+1)` i do obu różnic zastosuj twierdzenie Lagrange'a

Albo badamy znak różnicy \(\displaystyle{ x_{n+1}- x_{n} ? }\)

a4karo pisze: ↑30 paź 2022, o 18:57 Wsk Zapisz `\ln(\frac{n+3}{n+1})` w postaci `\ln(n+3)-\ln(n+2)+\ln(n+2)-\ln(n+1)` i do obu różnic zastosuj twierdzenie Lagrange'a

Bardzo dziękuję za odpowiedź, lecz jeszcze nie miałem tego twierdzenia i nie sądzę, że będzie akceptowane, ale to znaczy że coś za bardzo skomplikowałem

janusz47 pisze: ↑30 paź 2022, o 19:01 Albo badamy znak różnicy \(\displaystyle{ x_{n+1}- x_{n} ? }\)

Problem jest w tym, że to działa i jest to łatwe do udowodnienia, ale nie wiem czy to wystarcza, dlatego przeprowadzałem indukcję, żeby pokazać że jest rosnący dla każdego n, jeśli uważacie, że mogę po prostu odjąć dwa wyrazy i tym pokazać, że jest monotoniczny, to będzie dla mnie wielka ulga

Jak to udowadniasz ?

\(\displaystyle{ 1+...+\frac{1}{n} - \ln(n+1)< 1+..+\frac{1}{n+1}-\ln(n+2)\Rightarrow \ln(\frac{n+2}{n+1})<\frac{1}{n+1}}\)
Z własności logarytmu naturalnego
\(\displaystyle{ \ln(1+x)\leq x}\)
Gdzie zachodzi to tylko dla 0, a ponieważ dla liczb naturalnych ułamek ten jest rózny od zera, to:
\(\displaystyle{ \ln(\frac{n+2}{n+1})=\ln(1+\frac{1}{n+1}) < \frac{1}{n+1}}\)
Co udowadnia to co powyżej

Czy to wystarcza? Jeśli tak, to świetnie bo ta indukcja mnie mordowała, a i nie wiem czy to ma na coś wpływ, ale cały ciąg jest większy od 0

Za szybko.

Obliczamy różnicę \(\displaystyle{ x_{n+1} - x_{n} = \ \ ... }\)

Bez problemu, nie będę tutaj wstawiał wszystkich równań, ale w skrócie:

\(\displaystyle{ x_{n+1}-x_{n} = \ln(\frac{n+1}{n+2})+\frac{1}{n+1}}\)

Sorki za pomyłkę

Oblicz poprawnie różnicę wyrazów ogólnych ciągów.

MartaMaWszy pisze: ↑30 paź 2022, o 20:08 Bez problemu, nie będę tutaj wstawiał wszystkich równań, ale w skrócie:

\(\displaystyle{ x_{n+1}-x_{n} = \ln(\frac{n+1}{n+2})+\frac{1}{n+1}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) (uznajemy, że 0 nie należy do naturalnych), to logarytn ten jest dodatni, więc różnica także jest, sorry za pomyłkę zmęczony już jestem

Ten logarytm raczej dodatni nie jest.

Tak, zapomniałem usunąć jak edytowałem

\(\displaystyle{ x_{n+1} -x_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ ...+ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} -\ln(n+2) - 1 -\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{n} + \ln(n+1) = \frac{1}{n+1} -\ln(n+2) +\ln(n+1) = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{n+1} - \ln\left( \frac{n+2}{n+1}\right) = \ \ ... }\)

Czyli, że teraz po prostu:
\(\displaystyle{ \ln(1+\frac{1}{n+1})<\frac{1}{n+1} \Rightarrow -\ln(1+\frac{1}{n+1})>-\frac{1}{n+1}}\) (dodaję stronami \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}) \Rightarrow \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n+1})> \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = 0}\)

\(\displaystyle{ x_{n+1} - x_{n} = \frac{1}{n+1} - \ln\left( \frac{n+2}{n-1}\right) = \frac{1}{n+1} - \ln \left (1 + \frac{1}{n+1}\right) }\)

Jak zbadać znak tej różnicy ?