Matematyka.pl

Proszę o podpowiedź jak udowodnić, że
\(\displaystyle{ \lim_{ (a,b) \to (0,0) } \frac{ab}{a^{2}+b^{2}}=1 }\).
Albo chociaż napisać ładne uzasadnienie. Bo my na ćwiczeniach robiliśmy takie coś, że była granica w tej postaci i oczywiście jest to nawiązanie do nierówności pomiędzy średnimi i mianownik jest zawsze większy od licznika. No i ryzyko, że coś takiego będzie na kolokwium i jak to udowodnić bez męczenia się bez współrzędnych biegunowych? Albo w drugą stronę, bo w nieskończoności ta granica wynosi zero.

Niepokonana pisze: ↑7 sty 2023, o 01:55 Proszę o podpowiedź jak udowodnić, że
\(\displaystyle{ \lim_{ (a,b) \to (0,0) } \frac{ab}{a^{2}+b^{2}}=1 }\).

No tego to się nie da zrobić, bo to nieprawda - ta granica nie istnieje. Pomyśl o ciągach \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n},0\right). }\)

JK

Ayayay... No tak. Tylko pytanie czy nie istnieje w takim samym sensie jak sinusoidy warszawskiej czy w sensie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)? Bo jeżeli granica nie istnieje, ale wartość takiej funkcji w okolicach \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest ograniczona i to przez znaną liczbę, no to nie ma problemu, co nie?

Jak nie istnieje, to nie istnieje. I nie ma żadnego znaczenia czy funkcja jest ograniczona ( a jest), czy nie

No dla mnie jest różnica... Teraz pytanie, czy dowolnie blisko zera ta funkcja nadal będzie ograniczona. Bo jeśli tak, to luźno.

Ta funkcja w ogóle jest ograniczona - z dołu przez \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) i z góry przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Przy okazji jest jednorodna stopnia zero, więc wszystkie swoje wartości osiąga na dowolnym okręgu o środku w zerze.

Tak. Ta funkcja jest ograniczona na całym \(\displaystyle{ \RR^2}\) (bez zera). Z góry przez \(\displaystyle{ 1/2}\) oraz z dołu (ze względu na symetrię) przez \(\displaystyle{ -1/2}\). Więc w każdym otoczeniu zera też jest ograniczona. Niewiele ma to wspólnego z istnieniem czy nie tej granicy. Ale fakt faktem granica nie istnie bo na różnych ciągach są różne wartości, a nie bo wartości dążą do \(\displaystyle{ \infty }\).