Matematyka.pl

Witam

Jak sie szukalo takiego wyrazu?

np:

\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \\ a_{n+1}= a_{n} + 4n}\)

I jaka ma wartość, powiedzmy \(\displaystyle{ a_{101}}\) wyraz?

pozdrawiam

Poprawiłem zapis. Zaglądnij do kursu Texa.

Na początek zapiszmy kilka pierwszych wyrazów:

\(\displaystyle{ a_1=1}\)
\(\displaystyle{ a_2=1+4\cdot 1}\)
\(\displaystyle{ a_3=1+4\cdot 1 + 4\cdot 2}\)
\(\displaystyle{ a_4=1+4\cdot 1 + 4\cdot 2 + 4\cdot 3}\)

Możemy zapisać teraz wzór ogólny naszego ciągu:

\(\displaystyle{ a_n=1+4\cdot [1+2+3+...+(n-1)]}\)

Wiemy, że suma n-1 kolejnych liczb naturalnych jest równa \(\displaystyle{ \frac{n\cdot (n-1)}{2}}\), więc

\(\displaystyle{ a_n=1+4\cdot \frac{n\cdot (n-1)}{2}=2n(n-1)+1=2n^2-2n+1}\)


Jeśli 'nie wierzysz' temu wyprowadzeniu, możesz pokazać prawdziwość tego wzoru przez prostą indukcję =)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki