Matematyka.pl

Wyznaczyć możliwie najprościej (elementarnie): \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{e}{\left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n}\right)^n.}\)

Sam mianownik zmierza do \(\displaystyle{ e}\) więc całość zmierza do 1

Gouranga pisze: ↑23 mar 2024, o 18:47 Sam mianownik zmierza do \(\displaystyle{ e}\) więc całość zmierza do 1

Na tej zasadzie można powiedzieć, że \(\displaystyle{ \left( 1+1/n\right)^n }\) zmierza do \(\displaystyle{ 1}\) bo to co w nawiasie dąży do \(\displaystyle{ 1}\). Błąd polega na tym, że \(\displaystyle{ 1^{ \infty }}\) to symbol nieoznaczony.

Co do zadania. Można liczyć granicę logarytmu. To sprowadza się do policzenia granicy \(\displaystyle{ n - n^2\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }\). Po kilku rutynowych przekształceniach (regułą DH) prędzej czy później odkryjemy, że granica to \(\displaystyle{ 1/2}\). Więc wynik to \(\displaystyle{ \sqrt{e} }\).

Gouranga pisze: ↑23 mar 2024, o 18:47 Sam mianownik zmierza do \(\displaystyle{ e}\) więc całość zmierza do 1

A w \(\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}\) wyrażenie w nawiasie dąży do `1`, więc wszystko dąży do `1`, nieprawdaż?

wykorzystując \(\left(1+\frac 1N\right)^N < e \) dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{e^n}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} > \frac{\left(1+\frac{1}{kn}\right)^{kn^2}}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} = \left(\frac{\left(1+\frac{1}{kn}\right)^k}{1+\frac 1n} \right)^{n^2} = \left(\frac{1+\frac 1n + \frac{k-1}{2k} \frac{1}{n^2} + \sum_{j=3}^k {k\choose j} \frac{1}{k^jn^j}}{1+\frac 1n}\right)^{n^2} =\\= \left(1+\frac{\frac{k-1}{2k} \frac{1}{n^2} + \sum_{j=3}^k {k\choose j} \frac{1}{k^jn^j}}{1+\frac 1n}\right)^{n^2} = \left(1+\frac{\frac{k-1}{2k} + \sum_{j=3}^k {k\choose j} \frac{1}{k^jn^{j-2}}}{n^2+n}\right)^{n^2},}\)

zatem

\(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} \frac{e^n}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} \ge \liminf_{n\to\infty} \left(1+\frac{\frac{k-1}{2k} + \sum_{j=3}^k {k\choose j} \frac{1}{k^jn^{j-2}}}{n^2+n}\right)^{n^2} = e^{(k-1)/(2k)}}\)

i biorąc \(k\to\infty\) dostajemy \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}\frac{e^n}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} \ge e^{1/2}}\)

z góry można podobnie szacować: wykorzystując \(e<\left(1+\frac 1N\right)^{N+1}\) wyjdzie w podobny sposób

\(\displaystyle{ \frac{e^n}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} < \left(1+\frac{\frac{k-1}{2k} + \sum_{j=3}^k {k\choose j} \frac{1}{k^jn^{j-2}}}{n^2+n}\right)^{n^2} \cdot \left(1+\frac{1}{kn}\right)^n}\)

więc \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} \frac{e^n}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} \le \limsup_{n\to\infty} \left(1+\frac{\frac{k-1}{2k} + \sum_{j=3}^k {k\choose j} \frac{1}{k^jn^{j-2}}}{n^2+n}\right)^{n^2} \cdot \left(1+\frac{1}{kn}\right)^n = e^{(k-1)/(2k)} \cdot e^{1/k}}\)

i biorąc \(k\to\infty\) dostajemy \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\frac{e^n}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} \le e^{1/2}}\)

ostatecznie \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{e^n}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} = e^{1/2}}\)