Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Posty: 11464 Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3157 razy
Pomógł: 748 razy
Post
autor: mol_ksiazkowy » 12 lis 2023, o 10:40
Obliczyć
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{n+1}} \sum_{k=2}^{n^n} \log_n k }\)
arek1357
Użytkownik
Posty: 5750 Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 131 razy
Pomógł: 526 razy
Post
autor: arek1357 » 12 lis 2023, o 11:32
\(\displaystyle{ \lim=1}\)
Janusz Tracz
Użytkownik
Posty: 4085 Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 1398 razy
Post
autor: Janusz Tracz » 12 lis 2023, o 13:33
Ukryta treść:
\(\displaystyle{
\begin{split}
\frac{1}{n^{n+1}} \sum_{k=2}^{n^n} \log_n k & = \frac{1}{n^{n+1}} \sum_{k=2}^{n^n} \frac{\ln k}{\ln n} \\[2ex]
&= \frac{1}{n^{n+1} \ln n} \ln \prod_{k=2}^{n^n} k \\[2ex]
& = \frac{\ln (n^n)!}{n^{n+1} \ln n} \\[2ex]
& =1 \pm \text{coś rzędu } \left( \frac{n^n}{n^n n \ln n} \right) \\[2ex]
& =1 \pm \text{coś rzędu } \left( \frac{1}{n \ln n} \right).
\end{split}
}\)
Zatem wynik to istotnie
\(\displaystyle{ 1}\) . Tempo zbiegania to
\(\displaystyle{ 1/n\ln n}\) . Analiza tempa zbieżności wynika z ostatniego wystawienia akapitu
Szybkość zbieżności i oszacowanie błędu
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Stirlinga#Szybko%C5%9B%C4%87_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_i_oszacowanie_b%C5%82%C4%99du
Ostatnio zmieniony 13 lis 2023, o 06:35 przez
admin , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Aktywny link do strony zewnętrznej