3a174ad9764fefcb pisze: ↑23 gru 2022, o 12:12
Piszesz tu o dowolnej przestrzeni topologicznej czy jednak zakładasz jakiś aksjomat oddzielania? Pytam bo jakoś nie widzę sensu w definiowaniu zbieżności na przestrzeni antydyskretnej.
Definicja zbieżności jest ogólna i nie zakłada, żadnych aksjomat oddzielania na przestrzeń topologiczną
\(\displaystyle{ (X,\tau) }\). I dobrze, bo moim zdaniem założenie jakichkolwiek aksjomatów oddzielania sprawiło by w świetle poniższych faktów; że ta definicja byłaby brzydsza lub nie oddawała by sensu zbieżności.
Niech
\(\displaystyle{ \mathsf{US}}\) oznacza własność jednoznaczności granicy w p. top.
\(\displaystyle{ (X,\tau) }\). Od czasu do czasu przyda się też charakteryzacja
\(\displaystyle{ \mathsf{T}_1 }\)
- \(\displaystyle{ (X,\tau) \text{ jest } \mathsf{T}_1 \quad \Leftrightarrow \quad (\forall \, b\in X) \, \left\{ b\right\} \text{ jest domknięty}. }\)
Oto zapowiadane fakty:
- \(\displaystyle{ \mathsf{T}_2 \Rightarrow \mathsf{US}}\), to jest znany fakt, że w p. Hausdorffa są \(\displaystyle{ \mathsf{US}}\). Można tu myśleć nie wprost, że dwie różne granice tego samego ciągu obtaczają się rozłącznymi zbiorami otwartymi co prowadzi do sprzeczności z tym, że wyrazy ciągu są jednocześnie w dwóch tych zbiorach rozłącznych na raz.
- \(\displaystyle{ \mathsf{T}_1 \not \Rightarrow \mathsf{US}}\) pokazuje się przez konstrukcję: Line with two origins.
- \(\displaystyle{ \mathsf{US} \Rightarrow \mathsf{T}_1 }\), tu przydaje się wspomniana charakteryzacja \(\displaystyle{ \mathsf{T}_1}\). Ciąg stały \(\displaystyle{ \left\langle x\right\rangle_{n=1}^{ \infty } }\) ma jednoznaczną granicę \(\displaystyle{ x}\) zatem dowolny inny element można otoczyć otwartym zbiorem rozłącznym z \(\displaystyle{ x}\) zatem dopełnienie \(\displaystyle{ x}\) jest otwarte.
- \(\displaystyle{ \mathsf{US} \not\Rightarrow \mathsf{T}_2 }\), przykładami są zbiory nieprzeliczalne z topologią co-przeliczalną. Przykład: MathOverflow: Unique limits of sequences plus what implies Hausdorff?; David White.
Wniosek z tego taki, że standardowa definicja zbieżności z wymaganiem
\(\displaystyle{ \mathsf{T}_2}\) to dużo za dużo, co prawda dostaniemy
\(\displaystyle{ \mathsf{US}}\) ale niektóre przestrzenie z własnością
\(\displaystyle{ \mathsf{US}}\) nie będą mieć ciągów zbieżnych (co jest absurdem). A jeśli zrobimy standardową definicję zbieżności
\(\displaystyle{ +\mathsf{T}_1}\) to i tak niekoniecznie uzyskamy własność
\(\displaystyle{ \mathsf{US}}\) więc mało porządku przyniosło dodanie wymagania
\(\displaystyle{ \mathsf{T}_1}\). Intuicyjnie więc własność
\(\displaystyle{ \mathsf{US}}\) powinna być nazwana
\(\displaystyle{ \mathsf{T}_{1 \frac{1}{2} }}\) bo jest trochę pomiędzy
\(\displaystyle{ \mathsf{T}_1}\), a
\(\displaystyle{ \mathsf{T}_2}\). Są wyniki na temat tego o ile trzeba wzmocnić
\(\displaystyle{ \mathsf{US}}\), aby dostać
\(\displaystyle{ \mathsf{T}_2}\)
- \(\displaystyle{ \mathsf{US} + \mathsf{first \ countable } \Rightarrow \mathsf{T}_2}\); MathOverflow: Unique limits of sequences plus what implies Hausdorff?, Dirk.
A żeby było śmiesznie i nazwa
\(\displaystyle{ \mathsf{T}_{1 \frac{1}{2} }}\) miała szansę się przyjąć to:
- \(\displaystyle{ \mathsf{T}_1 + \mathsf{first \ countable } \not\Rightarrow \mathsf{T}_2}\) przykładem znów powinna być przestrzeń Line with two origins albo \(\displaystyle{ \NN}\) z topologią co-skończoną.
To mniej więcej pokazuje dlaczego do definicji zbieżności nie warto dodawać aksjomatów oddzielania. Po prostu nie ma naturalnego aksjomatu oddzielania równoważnego z własnością
\(\displaystyle{ \mathsf{US}}\). A jeśli jakieś własności są równoważne z
\(\displaystyle{ \mathsf{US}}\) to są bardziej subtelne od tych omawianych tu.
PS cieszy mnie, że żart się spodobał. I, że zmusiliście
a4karo aby go tłumaczył.
PPS jak już przedłużać funkcję wykładniczą na ujemne podstawy to powinno być to zrobione w zgodzie z potęgowaniem liczb zespolonych
\(\displaystyle{ z_1^{z_2}:= e^{z_2\text{Ln}\, z_1}}\), gdzie
\(\displaystyle{ \text{Ln}}\) to jakaś gałąź logarytmu zespolonego. Choć wydaje mi się, że nie o to chodziło w pierwotnym zadaniu...
