Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: Jan Kraszewski »

Nie odpowiedziałeś na moje pytanie.

Zdajesz sobie sprawę, że definicji Heinego granicy funkcji w punkcie ciąg musi byś brany z dziedziny funkcji? A punkt, w którym liczymy granicę w punkcie musi być punktem skupienia dziedziny? Jakoś nie widzę, żebyś się tym przejmował.

Tymczasem ten sam Wolfram zgadza się z nami (ze mną i Januszem Traczem) co do dziedziny funkcji:

Kod: Zaznacz cały

www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%28%28x%2B1%29%2F%28x-4%29%29%5E%284-x%29
co oznacza, że liczenie granicy w \(\displaystyle{ 2}\) nie ma sensu - jak widać trudno traktować programy matematyczne jako wyrocznię...
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: janusz47 »

Zgadzam się z Tobą i Januszem Traczem, że w definicji granicy funkcji w punkcie - punkt skupienia \(\displaystyle{ p }\) jest punktem dziedziny funkcji. Ale w tym przypadku, gdy mamy w granicy wykładnik kwadratowy - podstawa tej funkcji "wykładniczej" nie musi być dodatnia. aby mogła istnieć ta granica.

Ta możliwość jest uwzględniona w wymienionych programach matematycznych.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: Jan Kraszewski »

Podstawa funkcji wykładniczej jest dodatnia dlatego, że taka jest definicja funkcji wykładniczej. To, że programy matematyczne pozwalają sobie na liczenie granic, które formalnie nie istnieją, to już ich problem.

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: janusz47 »

To nie jest funkcja wykładnicza \(\displaystyle{ f(x) = a^{x} }\) z \(\displaystyle{ 0< a = const}\) i liczenie dodatniości jej podstawy nie ma sensu.

Trudno więc powiedzieć, aby programy matematyczne liczyły granice, które nie isnieją.

Chciabym trafić chociaż na jeden z nich z wyświetleniem komunikatu " inderterminate".
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: Jan Kraszewski »

janusz47 pisze: 20 gru 2022, o 19:37 To nie jest funkcja wykładnicza \(\displaystyle{ f(x) = a^{x} }\) z \(\displaystyle{ a = const}\) i liczenie dodatniości jej podstawy nie ma sensu.
Jak najbardziej ma sens, w dodatku tak się postępuje.

Nie możesz liczyć granicy funkcji w punkcie, dopóki nie określisz jej dziedziny - bez określenia dziedziny nie wiesz, czy liczenie tej granicy w ogóle ma sens. Jak zatem określasz dziedzinę funkcji zadanej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ {4-x}}\) ?

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: Janusz Tracz »

janusz47 pisze: 20 gru 2022, o 18:31 podstawa tej funkcji "wykładniczej" nie musi być dodatnia.
janusz47 pisze: 20 gru 2022, o 18:31 Ta możliwość jest uwzględniona w wymienionych programach matematycznych.
Sugerujesz więc, że Wolfram umie rozszerzać dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x-4} \right) ^{4-x}}\) na zbiór którego punktem skupienia jest \(\displaystyle{ 2}\)?

Ok to się spytajmy Wolframa wprost:
  • Kod: Zaznacz cały

    www.wolframalpha.com/input?i=Domain+of+a+function+%28%28x-1%29%2F%28x-4%29%29%5E%284-x%29
    Domain of a function \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x-4} \right) ^{4-x}}\)

W zakładce z Properties as a real function widać, że tego nie zrobił tak jak mówiłeś. W ogóle nie dzieje się coś takiego co postulujesz. Wolfram bez wahania liczy też granice z funkcji \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x-4} \right) ^{\red{\pi}-x}}\), gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 2}\). Cokolwiek u Ciebie znaczy wykładnik kwadratowy tu raczej nie wysępił. Poza tym z tego co mówisz wynika w szczególności, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}=0}\)
Tak bowiem twierdzi Wolfram

Kod: Zaznacz cały

www.wolframalpha.com/input?i=lim%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1-x%7D-3%7D%7B2%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%7D+as+x+to+-8]
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}=0}\) Polecam jednak tę granice policzyć na kartce.

Podobnie szereg \(\displaystyle{ \sum_{n\ge 3}\frac{1}{n\ln n \ln (n\ln n)}}\), który jest według Wolframa rozbieżny do nieskończoności, choć się szacuje z góry przez zbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum_{n\ge 3}\frac{1}{n\ln^2 n }}\).


Dopóki Wolfram i podobne mu programy takie jak: Mathematica, Matics, Sage, Maxima, Apple, Mathcad,Eigemath, a nawet MATLAB twierdzić takie bzdury to nie mają głosu w dyskusji matematycznej. Te programy służą do pomocy w matematyce, a nie weryfikacji matematyki. To co piszesz wskazuje na Twoją nieznajomość tych programów. Nie twierdze, że ja przeczytałem ich specyfikację i doskonale wiem skąd te błędy ale na pewno nie dzieje się żadne uzupełnianie dziedziny dla kwadratowych wykładników w granicy. Dzieje się liczenie tego w liczbach zespolonych i arbitralne (ustalone przez programistów) wybieranie gałęzi funkcji zespolonych. Znów Wolfram:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -2}\ln x=i\pi + \ln 2 \qquad \& \qquad \lim_{x \to -2} \sqrt{x} =i \sqrt{2} . }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 20 gru 2022, o 18:31 Zgadzam się z Tobą i Januszem Traczem, że w definicji granicy funkcji w punkcie - punkt skupienia \(\displaystyle{ p }\) jest punktem dziedziny funkcji. Ale w tym przypadku, gdy mamy w granicy wykładnik kwadratowy - podstawa tej funkcji "wykładniczej" nie musi być dodatnia. aby mogła istnieć ta granica.

Ta możliwość jest uwzględniona w wymienionych programach matematycznych.
Tylko że wtedy dostajesz absurdy typu
`(-1)^{1/2}=(-1)^{4/2}=1`
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \left( -\frac{3}{2} \right)^2 =\frac{9}{4} }\) to jest absurd ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: a4karo »

a4karo pisze: 20 gru 2022, o 20:11
janusz47 pisze: 20 gru 2022, o 18:31 Zgadzam się z Tobą i Januszem Traczem, że w definicji granicy funkcji w punkcie - punkt skupienia \(\displaystyle{ p }\) jest punktem dziedziny funkcji. Ale w tym przypadku, gdy mamy w granicy wykładnik kwadratowy - podstawa tej funkcji "wykładniczej" nie musi być dodatnia. aby mogła istnieć ta granica.

Ta możliwość jest uwzględniona w wymienionych programach matematycznych.
Tylko że wtedy dostajesz absurdy typu
`(-1)^{1/2}=(-1)^{4/2}=1`
Oczywiście miało być

`(-1)^{1/2}=(-1)^{2/4}=1`
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

janusz47 pisze: 20 gru 2022, o 18:31 Ale w tym przypadku, gdy mamy w granicy wykładnik kwadratowy
Wykładnik kwadratowy jest w punkcie \(x=2\), co nie ma tu najmniejszego znaczenia. W małym sąsiedztwie tego punktu nie ma wykładników parzystych ani nawet całkowitych.
janusz47 pisze: 20 gru 2022, o 21:17 \(\displaystyle{ \left( -\frac{3}{2} \right)^2 =\frac{9}{4} }\) to jest absurd ?
To nie jest absurdem, ale jest to zupełnie nieistotne. Gdy liczymy granicę funkcji w punkcie, to wartość funkcji w tym punkcie nas w ogóle nie obchodzi.

Różne programy matematyczne mogą uznawać, że działanie \(x^{\frac mn}\) jest określone dla \(x<0\), \(2\mid m\), \(2\not\mid n\), jednak nie ma to większego sensu. Po co takie potęgowanie, które nie spełnia wzorów, których od potęgowania oczekujemy?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: arek1357 »

Widzę pewną możliwość konsensusu, otóż proponuję p. Januszowi na początku przebadać funkcję:

\(\displaystyle{ f(x)=(-1)^x=e^{\pi xi}=\cos \pi x+i\sin\pi x}\)

Cała dyskusja balansuje na pograniczu liczb rzeczywistych i zespolonych, więc zbadanie kiedy ta funkcja, którą podałem przyjmuje wartości rzeczywiste pozwoli łatwiej przeprowadzić dyskusję nad dziedziną powyższej funkcji, którą wałkujecie, zbadanie dziedziny dogłębnie da odpowiedź na drażliwe pytania, okaże się, że dziedzina ma co najwyżej kilka punktów izolowanych na przedziale:

\(\displaystyle{ \left( -1;4\right] }\)

Co doprowadzi do zmiany paradygmatu i trzeba będzie to co powiedział Kol. Alf potrzeba zmiany topologii co wydaje się bardzo słusznym podejściem...

Więc tak czy siak proponuję Kol Januszowi szukanie dziedziny na bardzo ubogim ugorze jakim jest przedział:

\(\displaystyle{ \left( -1;4\right] }\)

Aczkolwiek nie wątpię, że coś się znajdzie w liczbie niewielkiej...

Dodano po 7 godzinach 40 minutach 14 sekundach:
Żeby uprościć rozumowanie proponuję badanie istnienia granicy funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=x, D=\ZZ}\)

np. w punkcie \(\displaystyle{ 0}\)


Można rzeczywiście się bawić w coś takiego też:

(*) \(\displaystyle{ (-1)^x= 1, x= \frac{p}{q} , (p,q)=1 , p=2k}\)

(**) \(\displaystyle{ (-1)^x= -1, x= \frac{p}{q} , (p,q)=1 , p=2k+1, q=2l+1}\)

Dla pozostałych nie istnieje

Dodano po 16 minutach 51 sekundach:
A co do liczb niewymiernych może w ten sposób: skoro każdą liczbę niewymierną można przybliżać liczbami wymiernymi i jeżeli od jakiegoś

\(\displaystyle{ a_{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n }\) zaczyna się stabilizować do postaci (*) lub (**) to można przyjąć \(\displaystyle{ -1 \vee 1}\),
a jeżeli nie da się ciągu na ten sposób ustabilizować to wtedy funkcja nie ma wartości...

Ale mnie poniosła fantazja, ale spodobało mi się to...

Choć przy tych nieskończonych ciągach mogą wyskakiwać różne niespodzianki, lecz stwarza to szerokie pole możliwości
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: janusz47 »

Januszu Tracz

Byłbym bardziej powściągliwy w ocenie przydatności programów komputerowych.

arku1357 dziękuję za rady.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: arek1357 »

Miło...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: a4karo »

arek1357 pisze: 21 gru 2022, o 08:18Można rzeczywiście się bawić w coś takiego też:

(*) \(\displaystyle{ (-1)^x= 1, x= \frac{p}{q} , (p,q)=1 , p=2k}\)

(**) \(\displaystyle{ (-1)^x= -1, x= \frac{p}{q} , (p,q)=1 , p=2k+1, q=2l+1}\)

Dla pozostałych nie istnieje

Dodano po 16 minutach 51 sekundach:
A co do liczb niewymiernych może w ten sposób: skoro każdą liczbę niewymierną można przybliżać liczbami wymiernymi i jeżeli od jakiegoś

\(\displaystyle{ a_{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n }\) zaczyna się stabilizować do postaci (*) lub (**) to można przyjąć \(\displaystyle{ -1 \vee 1}\),
a jeżeli nie da się ciągu na ten sposób ustabilizować to wtedy funkcja nie ma wartości...

Ale mnie poniosła fantazja, ale spodobało mi się to...

Choć przy tych nieskończonych ciągach mogą wyskakiwać różne niespodzianki, lecz stwarza to szerokie pole możliwości
Rzeczywiście poniosła Cię fantazja:
Jest rzeczą banalną do udowodnienia, że każdą liczbę rzeczywistą można dowolnie dobrze przybliżać zarówno ułamkami postaci (*) jak i (**), więc o jakiejkolwiek "stabilizacji" nie ma mowy i całe "rozumowanie" ma mało sensu.
Inna sprawa, że gdyby tak się dało zrobić, to znane by to było już w średniowieczu
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Liczba Eulera do wyznaczania granicy?

Post autor: Janusz Tracz »

janusz47 pisze: 21 gru 2022, o 09:32 Januszu Tracz Byłbym bardziej powściągliwy w ocenie przydatności programów komputerowych.
Nie neguję przydatności programów komputerowych. Te programy są bardzo przydatne. Nie popieram jedynie bezkrytycznego zaufania jakim darzysz te programy. Neguję też to co napisałeś o sposobie w jakim te programy miałyby liczyć granicę z zadania. Opisałem to dość obszernie, gdzie pokazałem kilka absurdów Wolframa.

Inżynierów na kursach z metod elementów skończonych (MES/FEM) przestrzega się przed błędnymi bezsensownymi wynikami które czasem daje komputer w specyficznych warunkach. Dobry inżynier, który ma o takich zjawiskach pojęcie potrafi odrzucić bzdurne i nierealne wyniki oraz tak dobrać metodę/założenia it., aby policzyć coś co ma z rzeczywistością trochę wspólnego.

Ta (z życia wzięta) przenośna tyczy się tego co piszesz twierdząc, że \(\displaystyle{ 9/4}\) to wynik. Więc okazuje się, że te \(\displaystyle{ 9/4}\) jak i każda inna liczba będzie bzdurną odpowiedzą na bzdurne pytanie.

Mało tego; zarzucając mi brak powściągliwości w ocenie przydatności programów typu Wolfram sam jednocześnie wykazałeś się dość mało dogłębną ich obsługą. Mathematica wprost ostrzega, że coś liczy ale nie widomo co (to wie pewnie tylko Mathematica):

Przechwytywanie.PNG

a4karo pisze: 21 gru 2022, o 15:49 Inna sprawa, że gdyby tak się dało zrobić, to znane by to było już w średniowieczu
Ah jak przyjemnie jest być członkiem przyjaznego forum matematyka.pl, gdzie wszyscy wzajemnie się kochamy i z szacunkiem oceniamy swoje matematyczne pomysły :mrgreen:
ODPOWIEDZ