Kryterium porównawcze, co porównywać?

zonker · Post autor: **zonker** » 6 lut 2009, o 23:57

Tak jak w temacie. Co porównywać stosując to kryterium? Możemy brać cokolwiek mniejsze lub większe od naszego szeregu?

Np:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+11}}\) mogę porównać z \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ? Chyba nie bardzo, bo na oko widać, że ten pierwszy jest zbieżny, a \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny.

Wiec co brać do porównywania? Jest jakiś prosty sposób na to?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 6 lut 2009, o 23:59

ten pierwszy jest rozbiezny;]

sir_matin · Post autor: **sir_matin** » 7 lut 2009, o 00:04

Zasada jest prosta, jeśli chcesz udowodnić, iż szereg jest zbieżny musisz go oszacować przez szereg zbieżny o większej sumie, natomiast rozbieżny na odwrót... tutaj wziąłeś szereg o większej sumie i wykazałeś, że jest rozbieżny co nic nie mówi o naszym szeregu... a poza tym jak zauważył miodzio1988 szereg ten jest rozbieżny.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 7 lut 2009, o 00:09

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+11} \ge \frac{1}{n+n}}\)

, bo \(\displaystyle{ 2n \ge n+11}\)
oczywiscie dla \(\displaystyle{ n \ge 11}\)
ale wazne jest aby nierownosc byla spelniona od pewnego miejsca.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n+n}}\)
jest rozbiezny.

zatem na mocy kr. porow. szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n+11}}\)
jest rozbiezny

pokazalem przyklad zastosowania kr.porownawczego;]

zonker · Post autor: **zonker** » 7 lut 2009, o 00:19

O! Teraz już rozumiem.

A jak mam:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sin \frac{1}{n}}\) to mogę porównać z \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) ? I dzięki temu wiem, że to pierwsze jest zbieżne?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 7 lut 2009, o 00:21

tak;]

zonker · Post autor: **zonker** » 7 lut 2009, o 00:30

A taki szereg?:

\(\displaystyle{ \frac{3n+1}{n^3 +3}}\)

Myślałem aby porównać do \(\displaystyle{ \frac{1}{n^3 + n}}\) Ale nic mi to nie da. A może do \(\displaystyle{ \frac{1}{n^3 n}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{n^4}}\) ? I wtedy będzie zbieżny.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 7 lut 2009, o 00:32

\(\displaystyle{ \frac{3n+1}{n^3 +3} \le \frac{3n+n}{n^3 +3} \le \frac{4n}{n^3 }= \frac{4}{n^2 }}\)

sir_matin · Post autor: **sir_matin** » 7 lut 2009, o 00:38

Musisz ocenić, ten szereg będzie zbieżny więc szacujemy go od góry:
...dokładniej tak:
\(\displaystyle{ \frac{3n+1}{n^3 +3} \le \frac{3n+n}{n^3 +0} = \frac{4n}{n^3 }= \frac{4}{n^2 }}\)

zonker · Post autor: **zonker** » 7 lut 2009, o 00:40

Ok, dzięki za pomoc chłopaki

A jeszcze tak szybko aby było pewne:

sir_matin pisze:Zasada jest prosta, jeśli chcesz udowodnić, iż szereg jest zbieżny musisz go oszacować przez szereg zbieżny o większej sumie, natomiast rozbieżny na odwrót......

Czyli:
*szereg jest zbieżny muszę go oszacować przez szereg zbieżny o większej sumie
*szereg jest rozbieżny muszę go oszacować przez szereg rozbieżny o mniejszej sumie

,tak?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 7 lut 2009, o 00:45

sir_martin co dokladniej zapisales? przejscia są takie same, wiec nie widze potrzeby abys powielał moje odpowiedzi. Chyba ze chodzi o to 0 ktore dopisales....