Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0 \le a_{m+n} \leq a_n +a_m }\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m,n =1, 2,3,...}\) to ciąg \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} }\) jest zbieżny.

Niech \(\displaystyle{ L=\inf_n ( a_n/n)}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\).

• Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ a_k/k<L+\epsilon}\) (z definicji \(\displaystyle{ \inf}\)).

• Niech \(\displaystyle{ N}\) będzie tak duże, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n>N}\) zachodzą nierówności

(i) \(\displaystyle{ \left| \frac{q_n k}{ n } -1 \right| \le \epsilon }\), gdzie \(\displaystyle{ q_n}\) to ciąg dla którego mamy \(\displaystyle{ n=q_nk+p_n}\) dla \(\displaystyle{ p_n\in\{0,\dots,k-1\}}\). To, że taki \(\displaystyle{ N}\) istnieje dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) wynika z faktu, że \(\displaystyle{ p_n}\) jest ograniczony zatem \(\displaystyle{ q_n k/ n\to 1 }\),

(ii) \(\displaystyle{ \frac{\max_{0 \le i\le k -1}\{a_i\} }{n} \le \epsilon }\).

Zauważmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n>N}\) mamy wtedy
Oznacza to, że A ponieważ \(\displaystyle{ L}\) jest liczbą skończoną to \(\displaystyle{ a_n/n}\) jest dowolnie blisko \(\displaystyle{ L}\). Można jednak odpuścić założenie, że \(\displaystyle{ a_n>0}\) i rozważać sytuację z ujemnymi wyrazami. Wynik w pełnej ogólności ( dla ciągów, z możliwością granicy \(\displaystyle{ -\infty}\)) nazywa się lematem Fekete. I jest szczególną wersją podaddytywnego twierdzenia ergodycznego Kingmana.

tak jeszcze dołożę sobie coś od siebie:

\(\displaystyle{ a_{n} \le na_{1}}\)