Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac n {(n+1)!}>\left( \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+...+\frac{1}{(2n)!} \right) > \frac n {2n!}}\)
A oba ciągi ograniczające zbiegają do 0.

A czy mógłbyś mi wyjaśnić dlaczego tak a nie inaczej??

Wszystkich elementów ciągu jest n , ponieważ dąży od mianownik się zmienia od +1 do +n. Stąd, ograniczeniem górnym będzie n elementów skąd każdy będzie miał wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)!}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{n}{(n+1)!}}\) . Ograniczeniem dolnym będzie n elementów skąd każdy będzie miał wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{(2n)!}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{n}{(2n)!}}\). [oczywiste jest, że im większy mianownik tym mniejsza liczba]

Obliczasz granicę dla \(\displaystyle{ \frac{n}{(2n)!}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)!}}\) . Okazuje się, że obie wynoszą 0. Ponieważ ciąg rozpatrywany znajdował się pomiędzy ciągami założonymi, więc tym bardziej musi być zbieżny do 0.