Matematyka.pl

Witam drogich ludzi którzy pojmują granice ciągów. Przemierzając dziś przez setki zadań matematycznych, które muszę mieć przeliczone na jutro, natrafiłem na problemy z poniższymi przykładami:

1) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n+2} \right) ^ {3n} =}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ 3^{n}+2 \cdot 3 ^{2n}-1 }{9 ^{n} -5} =}\)

Pewnie wielu z Was wyda się to wręcz wulgarne, ale śmiem prosić z tego miejsca o pełne rozwiązanie powyższych zadań. Muszę jeszcze dziś dokonać kilku korekt w moim projekcie dotyczącym przycinania żywopłotów, jednakże doba ma tylko 24h. Człowiekowi o dobrym sercu oferuję słoik ogórków kiszonych bądź garść orzeszków solonych.

Pozdrawiam i proszę o pomoc
Tadeusz Drozda

n dąży do nieskończoności? zakładając, że tak masz:

1)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n+2} \right) ^ {3n} =\lim_{n \to \infty } \left[ \left( \left( 1+ \frac{1}{n+2} \right) ^ {n+2} \right) ^{ \frac{1}{n+2}} \right] ^{3n}=\lim_{n \to \infty }e^{3n \cdot \frac{1}{n+2}}=\lim_{n \to \infty }e^{ \frac{3}{1+ \frac{2}{n}} } =e^{3}}\)

2) pomnóz to ułamek przez \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{9^{n}} }{ \frac{1}{9^{n}} }}\)

edit: byl maly blad przy wyniku w 1, juz poprawilem

2)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ 3^{n}+2 \cdot 3 ^{2n}-1 }{9 ^{n} -5} =
\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{3}+9 ^{n}-1 }{1- \frac{5}{9 ^{n} } }= \infty}\)

Proszę o sprawdzenie i serdeczne dzięki kalwi.

źle

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ 3^{n}+2 \cdot 3 ^{2n}-1 }{9 ^{n} -5} \cdot \frac{ \frac{1}{9^{n}} }{ \frac{1}{9^{n}} } =\lim_{n \to \infty } \frac{ (\frac{3}{9})^{n}+2- \frac{1}{9^{n}} }{1- \frac{5}{9^{n}} }=2}\)