Uczyłem matematyki studentów Wydziału Mechanicznego przez ponad 10 lat. I tu pozwolę się z Tobą nie zgodzić. Nie uczymy przyszłych inżynierów matematyki po to, aby potrafili obliczać granice i całki, lecz po to, żeby dać im pewne narzędzia. I po to, żeby potrafili z tych narzędzi korzystać, gdy trzeba.Dasio11 pisze: ↑11 lip 2022, o 20:53Może to kwestia gustu, ale uważam że to niedobre podejście z dydaktycznego punktu widzenia. By zrozumieć argument z twierdzeniem Lagrange'a - nie wspominając już o wymyślaniu go samodzielnie - potrzeba w mojej ocenie* znacznie większej wprawy w czytaniu dowodów matematycznych, niż w przypadku podanego przeze mnie argumentu czysto rachunkowego. Oczywiście nie widzę przeszkód by omawiać tę dość już zaawansowaną metodę ze zdolniejszymi studentami lub pobieżnie w ramach ciekawostki, ale w przypadku osoby mającej kłopot by w ogóle jakkolwiek ruszyć omawianą granicę - zdecydowanie omówiłbym przede wszystkim metodę podstawową, czyt. rachunkową.
*Co piszę jako osoba, której zdarzyło się udzielać korepetycji z matematyki studentom pierwszego roku na takich kierunkach, jak Mechanika i Budowa Maszyn. ;P
Twierdzenie Lagrange'a jest jednym z takich narzędzi, więc jeżeli jest okazja do użycia go, to należy ją studentom wskazać.
A używać będą tego twierdzenia wielokrotnie analizując np. wyniki pomiarów pewnych procesów czy zjawisk.
Zdecydowanie wolałbym, aby na pytanie "jak to obliczyłeś" inżynier odpowiedział "bo zachodzą takie i takie zjawiska" lub "bo wynika to z takich i takich własności" niż "bo jest taki wzór".
To zresztą temat na dyskusje o tym kim jest inżynier. Za polską Wikipedią
"Francuskie ingénieur (człowiek twórczego umysłu, wynalazca, konstruktor w rozumieniu projektant i wykonawca w jednym) jest wyrazem ogólnoromańskim – z łacińskiego ingeniosus (wł. ingegnoso) oznaczającego osobę wyszkoloną, co pochodzi od łacińskiego ingenium (charakter, inteligencja, talent). Z języków romańskich przeszedł do innych języków indoeuropejskich. Bezpośrednią kontynuacją łacińskiego ingenium jest francuskie engin (narzędzie, broń, maszyna) i angielskie engine[4]."
Wydaje się jednak, że ostatnio ten proces się odwraca. W naszym angielskojęzycznym świecie punktem wyjściowym staje sie egnine (maszyna), a w wyniku dostajemy engineer (maszynistę). I sądzę, że większość naszych uczelni takich właśnie maszynistów kształci.
Dodano po 26 minutach 4 sekundach:
Dasio, przecież obaj wiemy, że rozwiązanie kończy się na pierwszej linijce. Reszta to objaśnienia dla mniej zdolnych studentów i jeszcze mniej zdolnych nauczycieli.Dasio11 pisze: ↑11 lip 2022, o 22:42Tak czy inaczej, nie wygląda "o niebo szybciej".a4karo pisze: ↑11 lip 2022, o 22:19 Ano oczywiście tak:
\(\displaystyle{ \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^7-1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^5-1}=\frac{7\xi_n^6\cdot\frac1n}{5\eta_n^4\cdot\frac1n}=\frac{7\xi_n^6}{5\eta_n^4},}\)
gdzie `1<\xi_n,\eta_n<1+1/n`.
I teraz masz do wyboru uwierzyć, że to dąży do `7/5`, albo zaprząc twierdzenie o trzech ciągach pisząc
\(\displaystyle{ \frac{7}{5\left(1+\frac{1}{n}\right)^5}<\frac{7\xi_n^6}{5\eta_n^4}<\frac{7\left(1+\frac{1}{n}\right)^7}{5}}\)
Porównanie tego z zapisem
\(\displaystyle{ \begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^7-1}{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^5-1} & = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^6 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^5 + \ldots + 1 \right]}{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\red{4}} + \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\red{3}} + \ldots + 1 \right]} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^6 + \ldots + 1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\red{4}} + \ldots + 1} = \frac{7}{5}.
\end{align*}}\)
wypada jednak na korzyść Lagrange'a , zwłaszcza gdybyś za inkaust złotem musiał płacić
Nawiasem mówiąc, przeciętny student nie napisze
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^6 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^5 + \ldots + 1 \right]}{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^5 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^4 + \ldots + 1 \right]} }\)
lecz
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^6 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^5 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^4 +\left(1+\frac{1}{n}\right)^3 +\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 + \left(1+\frac{1}{n}\right)+ 1 \right]}{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^4 +\left(1+\frac{1}{n}\right)^3 +\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 + \left(1+\frac{1}{n}\right)+ 1 \right]} }\)
co dodatkowo podnosi czas rozwiązania.
Powinieneś mieć więcej wiary w metody, których używasz. Pierwsza metoda działa perfekcyjnie, tyle że w tym przypadku trzeba jej użyć à rebours. Szczegóły sobie dorobisz.
Natomiast co do drugiej metody, to sądzę że studentów, którzy dostrzegą w tym wyrażeniu iloraz dwóch ilorazów różnicowych, zliczysz na palcach jednej ręki (mam na myśli studentów przecietnej uczeli technicznej, nie matematyki na UW), więc trudno ją uznać za standardową
No właśnie użycia tej drugiej metody