Matematyka.pl

Dasio11 pisze: ↑11 lip 2022, o 20:53

a4karo pisze: ↑11 lip 2022, o 18:18Użycie twierdzenia Lagrange'a bardzo często przynosi efekty dużo szybciej niż szkolne metody i lepiej je znać i używać niż traktować jako ciekawostkę.

Może to kwestia gustu, ale uważam że to niedobre podejście z dydaktycznego punktu widzenia. By zrozumieć argument z twierdzeniem Lagrange'a - nie wspominając już o wymyślaniu go samodzielnie - potrzeba w mojej ocenie* znacznie większej wprawy w czytaniu dowodów matematycznych, niż w przypadku podanego przeze mnie argumentu czysto rachunkowego. Oczywiście nie widzę przeszkód by omawiać tę dość już zaawansowaną metodę ze zdolniejszymi studentami lub pobieżnie w ramach ciekawostki, ale w przypadku osoby mającej kłopot by w ogóle jakkolwiek ruszyć omawianą granicę - zdecydowanie omówiłbym przede wszystkim metodę podstawową, czyt. rachunkową.

*Co piszę jako osoba, której zdarzyło się udzielać korepetycji z matematyki studentom pierwszego roku na takich kierunkach, jak Mechanika i Budowa Maszyn. ;P

Uczyłem matematyki studentów Wydziału Mechanicznego przez ponad 10 lat. I tu pozwolę się z Tobą nie zgodzić. Nie uczymy przyszłych inżynierów matematyki po to, aby potrafili obliczać granice i całki, lecz po to, żeby dać im pewne narzędzia. I po to, żeby potrafili z tych narzędzi korzystać, gdy trzeba.
Twierdzenie Lagrange'a jest jednym z takich narzędzi, więc jeżeli jest okazja do użycia go, to należy ją studentom wskazać.
A używać będą tego twierdzenia wielokrotnie analizując np. wyniki pomiarów pewnych procesów czy zjawisk.
Zdecydowanie wolałbym, aby na pytanie "jak to obliczyłeś" inżynier odpowiedział "bo zachodzą takie i takie zjawiska" lub "bo wynika to z takich i takich własności" niż "bo jest taki wzór".

To zresztą temat na dyskusje o tym kim jest inżynier. Za polską Wikipedią
"Francuskie ingénieur (człowiek twórczego umysłu, wynalazca, konstruktor w rozumieniu projektant i wykonawca w jednym) jest wyrazem ogólnoromańskim – z łacińskiego ingeniosus (wł. ingegnoso) oznaczającego osobę wyszkoloną, co pochodzi od łacińskiego ingenium (charakter, inteligencja, talent). Z języków romańskich przeszedł do innych języków indoeuropejskich. Bezpośrednią kontynuacją łacińskiego ingenium jest francuskie engin (narzędzie, broń, maszyna) i angielskie engine[4]."

Wydaje się jednak, że ostatnio ten proces się odwraca. W naszym angielskojęzycznym świecie punktem wyjściowym staje sie egnine (maszyna), a w wyniku dostajemy engineer (maszynistę). I sądzę, że większość naszych uczelni takich właśnie maszynistów kształci.

Dodano po 26 minutach 4 sekundach:

Dasio11 pisze: ↑11 lip 2022, o 22:42

a4karo pisze: ↑11 lip 2022, o 22:19 Ano oczywiście tak:
\(\displaystyle{ \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^7-1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^5-1}=\frac{7\xi_n^6\cdot\frac1n}{5\eta_n^4\cdot\frac1n}=\frac{7\xi_n^6}{5\eta_n^4},}\)
gdzie `1<\xi_n,\eta_n<1+1/n`.
I teraz masz do wyboru uwierzyć, że to dąży do `7/5`, albo zaprząc twierdzenie o trzech ciągach pisząc
\(\displaystyle{ \frac{7}{5\left(1+\frac{1}{n}\right)^5}<\frac{7\xi_n^6}{5\eta_n^4}<\frac{7\left(1+\frac{1}{n}\right)^7}{5}}\)

Tak czy inaczej, nie wygląda "o niebo szybciej".

Dasio, przecież obaj wiemy, że rozwiązanie kończy się na pierwszej linijce. Reszta to objaśnienia dla mniej zdolnych studentów i jeszcze mniej zdolnych nauczycieli.
Porównanie tego z zapisem
\(\displaystyle{ \begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^7-1}{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^5-1} & = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^6 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^5 + \ldots + 1 \right]}{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\red{4}} + \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\red{3}} + \ldots + 1 \right]} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^6 + \ldots + 1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\red{4}} + \ldots + 1} = \frac{7}{5}.
\end{align*}}\)
wypada jednak na korzyść Lagrange'a , zwłaszcza gdybyś za inkaust złotem musiał płacić

Nawiasem mówiąc, przeciętny student nie napisze
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^6 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^5 + \ldots + 1 \right]}{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^5 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^4 + \ldots + 1 \right]} }\)
lecz
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^6 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^5 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^4 +\left(1+\frac{1}{n}\right)^3 +\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 + \left(1+\frac{1}{n}\right)+ 1 \right]}{\frac{1}{n} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^4 +\left(1+\frac{1}{n}\right)^3 +\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 + \left(1+\frac{1}{n}\right)+ 1 \right]} }\)
co dodatkowo podnosi czas rozwiązania.

a4karo pisze: ↑11 lip 2022, o 22:19A wyobraź sobie, że magister sadysta zamiast `7` i `5` napisze `1/2022` i `1/2021` !

Wtedy pierwsza z metod w moim poście zupełnie nie działa, a druga wymaga tylko kosmetycznej poprawki, więc w czym rzecz?

Powinieneś mieć więcej wiary w metody, których używasz. Pierwsza metoda działa perfekcyjnie, tyle że w tym przypadku trzeba jej użyć à rebours. Szczegóły sobie dorobisz.

Natomiast co do drugiej metody, to sądzę że studentów, którzy dostrzegą w tym wyrażeniu iloraz dwóch ilorazów różnicowych, zliczysz na palcach jednej ręki (mam na myśli studentów przecietnej uczeli technicznej, nie matematyki na UW), więc trudno ją uznać za standardową

a4karo pisze: ↑11 lip 2022, o 22:19A --- ta uwaga o pochodnej była nie na miejscu.

Jaka uwaga?

No właśnie użycia tej drugiej metody