Granica sumy sumą granic
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Granica sumy sumą granic
Dlaczego jeżeli w takim przykładzie
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2}+ ... + \frac{n}{n^2} \right)}\)
policzę sobie sumę granic to wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) a jeżeli dodam te liczby i licznik potakatuję jako sumę ciągu arytmetycznego to wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2}+ ... + \frac{n}{n^2} \right)}\)
policzę sobie sumę granic to wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) a jeżeli dodam te liczby i licznik potakatuję jako sumę ciągu arytmetycznego to wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ?
Ostatnio zmieniony 23 mar 2019, o 15:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Granica sumy sumą granic
Nie możesz tutaj stosować twierdzenia mówiącego o tym, że granica sumy jest sumą granic, ponieważ działa ono dla sumy ustalonej liczby składników (z których każdy ma granicę, jeszcze najlepiej właściwą, żeby nie produkować niejednoznaczności). Tutaj liczba składników rośnie, gdy \(\displaystyle{ n}\) rośnie.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4077
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Granica sumy sumą granic
Można też powiedzieć, że licząc to jako sumę granic zakładasz poniekąd, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty =0}\). A wiadomo, że taka równość jest błędna.
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Re: Granica sumy sumą granic
Ale tutaj mamy ustaloną sumę składników. Jest ona równa \(\displaystyle{ n}\).
-
- Administrator
- Posty: 34297
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica sumy sumą granic
No to napisz sobie pięć pierwszych wyrazów tego ciągu i sprawdź, czy na pewno masz "ustaloną sumę składników".
JK
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Granica sumy sumą granic
W takim razie zastanawiam się, ile musiałoby ich być, żeby ta liczba była nieustalona. :pmatematykipatyk pisze:Ale tutaj mamy ustaloną sumę składników. Jest ona równa \(\displaystyle{ n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Re: Granica sumy sumą granic
\(\displaystyle{ \frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^2} + \frac{5}{5^2}}\)
No ale w sumie przekonuje mnie to:
"Tutaj liczba składników rośnie, gdy n rośnie. "
No ale w sumie przekonuje mnie to:
"Tutaj liczba składników rośnie, gdy n rośnie. "
-
- Administrator
- Posty: 34297
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica sumy sumą granic
To nie jest pięć pierwszych wyrazów tego ciągu, tylko piąty wyraz tego ciągu. A to różnica.matematykipatyk pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^2} + \frac{5}{5^2}}\)
JK