Matematyka.pl

Czy taki wzór jest prawdziwy (przynajmniej dla granic właściwych)?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(\lim_{x \to \infty} g(x))}\)

Jeżeli powyższy wzór nie jest prawdziwy, czy prawdziwy jest taki?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} (f(x))^x = \lim_{x \to \infty} \left( \lim_{x \to \infty} f(x)\right) ^x}\)

Ten drugi wzór nie jest prawdziwy i klasycznym przykładem jest granica z liczbą e. Ten pierwszy wzór jeśli lekko zmodyfikujemy i dodamy założenie powinien działać, tzn;
Jeśli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} g(x) = g}\) oraz funkcja f jest ciągła w otoczeniu tego punktu to:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(g(x)) = f(\lim_{x \to \infty} g(x))}\)

Czy więc pierwszy (i wynikający z niego drugi) wzór jest prawdziwy, gdy \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) mają granice właściwe dla x dążącego do \(\displaystyle{ \infty}\)?

A czemu drugi miałby wynikać z pierwszego?

Pierwszy wzór jest prawdziwy, gdy istnieje granica

\(\displaystyle{ a=\lim_{x \to \infty} g(x)}\)

oraz \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ a.}\)

Gdy granica nie istnieje, to wzór nie ma sensu.
Gdy \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła w \(\displaystyle{ a,}\) wzór jest nieprawdziwy.
Przy okazji, zapis

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f \left( \lim_{x \to \infty} g(x) \right)}\)

można skrócić do

\(\displaystyle{ f \left( \lim_{x \to \infty} g(x) \right),}\)

bo przecież \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(a) = f(a).}\)

A czemu drugi miałby wynikać z pierwszego?

Mój błąd.

Czy jeżeli istnieją granice właściwe:
1. \(\displaystyle{ \lim_{a \to \infty} f(a,x) = w1}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{a \to \infty} g(a) = w2}\)
to
\(\displaystyle{ \lim_{a \to \infty} \lim_{b \to \infty} f\left( a, g(b)\right) = \lim_{a \to \infty} f\left( a, \lim_{b \to \infty} g(b)\right)}\)

Kamu pisze:

1. \(\displaystyle{ \lim_{a \to \infty} f(a,x) = w1}\)

A co to jest \(\displaystyle{ x?}\)
Jeśli granica ma istnieć dla każdego \(\displaystyle{ x,}\) wzór nie musi być prawdziwy. Kontrprzykładem jest np. \(\displaystyle{ w_2=0, \quad f(x, y) = |\mathrm{sgn} \; y|.}\)