Granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Bosswell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 30 cze 2022, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: Bosswell »

Dzień dobry,
rozwiązuje aktualnie zadania z książki do analizy matematycznej i natrafiłem na zadanie w którym należy obliczyć granice ciągu \(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}}}\).


Zadanie rozpisałem następująco:

\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{\left( 2n^{2} +1\right) +1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{n^{2}} =\\=\left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} =\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)

Niestety wynik podany na końcu książki różni się od mojego. W książce jest \(\displaystyle{ e^{\frac{3}{2}}}\).
Czy byłby ktoś w stanie nakreślić miejsce, w którym popełniłem błąd? Dłuższy czas już rozkminiam ten przykład i nic nie mogę wykombinować.
Na stronce

Kod: Zaznacz cały

symbolab.com/solver/limit-calculator/%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bn%5E%7B2%7D%20%2B%202%7D%7B2n%5E%7B2%7D%2B1%7D%5Cright)%5E%7Bn%5E2%7D?or=inpu
wynik jest taki sam jak mój.
Z góry dziękuje.
Ostatnio zmieniony 30 cze 2022, o 17:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 31508
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4998 razy

Re: Granica ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

Bosswell pisze: 30 cze 2022, o 17:23Czy byłby ktoś w stanie nakreślić miejsce, w którym popełniłem błąd?
To bardzo proste: za bardzo ufasz odpowiedziom w książce...

Twoje rozwiązanie jest dobre, a w odpowiedziach jest błąd.

JK

edit: To jednak nie jest dobre rozwiązanie (choć w odpowiedziach jest błąd) :oops:
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20770
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3517 razy

Re: Granica ciągu

Post autor: a4karo »

Bosswell pisze: 30 cze 2022, o 17:23

Zadanie rozpisałem następująco:

\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\blue{\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{\left( 2n^{2} +1\right) +1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{n^{2}} =\\
=\red{\left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} }=\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)


Niestety wynik podany na końcu książki różni się od mojego. W książce jest \(\displaystyle{ e^{\frac{3}{2}}}\).
Czy byłby ktoś w stanie nakreślić miejsce, w którym popełniłem błąd?
Błąd popełniłeś niestety na samym początku, a potem w trakcie rozwiązywania też.

Błąd na początku polegał na tym, że nie zastanowiłeś się z czym masz do czynienia tylko zacząłeś automatycznie przekształcać coś, co wyglądało jak granica z `e`.
Gdybyś chwilę pomyślał, to byś doszedł do wniosku, że niebieskie wyrażenie dąży do `1/2`, a to podniesione do wielkiej potegi dąży do zera.

Drugi błąd, a właściwie dwa popełniłeś w czerwonym wyrażeniu: po pierwsze źle umieściłeś symbol granicy, a po drugie granica w kwadratowym nawiasie to nie `e`, lecz `9/4`
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 31508
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4998 razy

Re: Granica ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

Zgodnie z życzeniem a4karo posypuję głowę przysłowiowym popiołem... :oops: :oops:

JK
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9883
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 2251 razy

Re: Granica ciągu

Post autor: Dasio11 »

a4karo pisze: 30 cze 2022, o 20:28
Bosswell pisze: 30 cze 2022, o 17:23\(\displaystyle{ \red{\left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} }=\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)

[...]
granica w kwadratowym nawiasie to nie `e`, lecz `9/4`
Raczej \(\displaystyle{ 4}\) ?
Bosswell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 30 cze 2022, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz

Re: Granica ciągu

Post autor: Bosswell »

Rzeczywiście popełniłem błąd przy przepisywaniu.
Dasio11 w zapisie \(\displaystyle{ \left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]}\) wartość dąży do \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}\).

Więc poprawnie to powinno być:
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} =\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)

Dziękuje a4karo za odpowiedź. Rzeczywiście mogłem zrobić to mniej schematycznie :)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 31508
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4998 razy

Re: Granica ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

Bosswell pisze: 30 cze 2022, o 22:20 Dasio11 w zapisie \(\displaystyle{ \left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]}\) wartość dąży do \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}\).
Jesteś pewny?
Bosswell pisze: 30 cze 2022, o 22:20Więc poprawnie to powinno być:
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} =\red{\ e^{-\infty }} \ =\ 0}\)
A to \(\displaystyle{ e}\) to skąd się wzięło?

JK
Bosswell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 30 cze 2022, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz

Re: Granica ciągu

Post autor: Bosswell »

Nie mogę wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\) potraktować jako to n w definicji liczby e \(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n} =\ e}\) ?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 31508
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4998 razy

Re: Granica ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

No skąd! Przecież \(\displaystyle{ \frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}} \rightarrow -2}\), a twierdzenie, które stosujesz do liczenia granic "podobnych do \(\displaystyle{ e}\)" mówi, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) dla \(\displaystyle{ n\to\infty}\), to \(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+a_{n}\right)^{\frac{1}{a_n}} =\ e}\).

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20770
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3517 razy

Re: Granica ciągu

Post autor: a4karo »

Dasio11 pisze: 30 cze 2022, o 21:41
a4karo pisze: 30 cze 2022, o 20:28
Bosswell pisze: 30 cze 2022, o 17:23\(\displaystyle{ \red{\left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} }=\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)

[...]
granica w kwadratowym nawiasie to nie `e`, lecz `9/4`
Raczej \(\displaystyle{ 4}\) ?

Fakt. Widziałem w mianowniku `1+n^2`.
Ostatnio zmieniony 1 lip 2022, o 00:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Bosswell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 30 cze 2022, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz

Re: Granica ciągu

Post autor: Bosswell »

Dopiero zaczynam się uczyć granic ze wzorem e, stąd to głupie pytanie :)
Rzeczywiście, teraz widzę, że liczbę e uzyskujemy jeżeli ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) w \(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty}\) lub \(\displaystyle{ -\infty}\).

Czyli jakby rozpisać to tak jak robiłem wcześniej, to:

\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{\left( 2n^{2} +1\right) +1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ }\)

\(\displaystyle{ =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\left( -\frac{1}{2}\right)\right)^{-2}\right]^{\frac{1-n^{2}}{2}} =}\)

\(\displaystyle{ = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\right]^{-\infty } =\ 4^{-\infty } \ =\ 0}\)

Jak dobrze rozumiem to rozwiązanie, które przedstawił a4karo wygląda następująco?
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{1 +\frac{2}{n^{2}}}{2 +\frac{1}{n^{2}}}\right)^{n^{2}} =\ \left(\frac{1}{2}\right)^{\infty } =\ 0}\)

----
Jan Kraszewski pisze: 30 cze 2022, o 22:25
Bosswell pisze: 30 cze 2022, o 22:20 Dasio11 w zapisie \(\displaystyle{ \left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]}\) wartość dąży do \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}\).
Jesteś pewny?
Byłem wczoraj dość rozkojarzony i w mianowniku zobaczyłem \(\displaystyle{ 1 + n^{2}}\).
ODPOWIEDZ