Dobry wieczor,
Mam taki ciag, ale nie wiem jak sie do niego zabrac...
\(\displaystyle{ {\lim_{ n\to \infty}} \frac{1 \cdot 2+2 \cdot 3 + ...+n \cdot (n+1)}{2 \cdot {(n+1)^3}}}\)
Granica ciagu
-
ewap
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
Re: Granica ciagu
Wzor jest taki:
\(\displaystyle{ S_n= \frac{n(n+1)}{2}
}\)
Tylko jak on sie ma do tego ciagu...Patrze w teorie ze to na sume kwadratow, a w tym ciagu nie mam kwadratow.... Nie wiem jak to przeksztalcic
\(\displaystyle{ S_n= \frac{n(n+1)}{2}
}\)
Tylko jak on sie ma do tego ciagu...Patrze w teorie ze to na sume kwadratow, a w tym ciagu nie mam kwadratow.... Nie wiem jak to przeksztalcic
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34303
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica ciagu
To jest wzór na sumę pierwszych \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych. a4karo pytał się, czy znasz wzór na sumę kwadratów pierwszych `n` liczb naturalnych, czyli \(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+n^2=...}\) To zupełnie co innego.
JK
-
ewap
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
Re: Granica ciagu
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{n(n+1) \cdot (2n+1)}{6}}\)
Ostatnio zmieniony 23 sty 2022, o 23:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Stosuj "Odpowiedz" zamiast cytowania postu.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Stosuj "Odpowiedz" zamiast cytowania postu.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34303
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
ewap
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
Re: Granica ciagu
Bardzo bym chciala je zastosowac, ale nie wiem jak sie \(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+n^2 }\) ma do \(\displaystyle{ 1 \cdot 2+2 \cdot 3 +...+n(n+1)}\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4079
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1396 razy
Re: Granica ciagu
Możesz też spróbować takiego oszacowania
wtedy masz czystą sumę kwadratów. Na oko to powinno zadziałać bo ta granica nie zmieni się jeśli w liczniku nie napiszesz kilku wyrazów w liczniku. Poza tym jest przyjemniej, gdy w mianowniku było \(\displaystyle{ n^3}\), a to można osiągnąć
pozostaje więc policzyć granice wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^3}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2^2+3^2+...+(n+1)^2}{n^3} }\) choć to w zasadzie jedno i to samo (tu metod jest wiele albo już wyżej wspomniana albo doszukaj się w tym sum całkowych albo twierdzenie Stolza też zadziała albo jakoś oszacuj z twierdzenia Lagrange’a chyba się da choć nie pamiętam jak) i \(\displaystyle{ \frac{n^3}{2(n+1)^3}}\). Potem twierdzenie o arytmetyce granic i twierdzenie o trzech ciągach.
PS sumę kwadratów można też policzyć jak niżej. Pomysł Hypergeometricx z
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+...+n^2 \le 1 \cdot 2+2 \cdot 3+...+n \cdot (n+1) \le 2 ^2+3^2+...+(n+1)^2}\)
wtedy masz czystą sumę kwadratów. Na oko to powinno zadziałać bo ta granica nie zmieni się jeśli w liczniku nie napiszesz kilku wyrazów w liczniku. Poza tym jest przyjemniej, gdy w mianowniku było \(\displaystyle{ n^3}\), a to można osiągnąć
\(\displaystyle{ \frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^3} \cdot \frac{n^3}{2(n+1)^3} \le \frac{1 \cdot 2+2 \cdot 3+...+n \cdot (n+1)}{2(n+1)^3} \le \frac{2^2+3^2+...+(n+1)^2}{n^3} \cdot \frac{n^3}{2(n+1)^3} }\)
pozostaje więc policzyć granice wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^3}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2^2+3^2+...+(n+1)^2}{n^3} }\) choć to w zasadzie jedno i to samo (tu metod jest wiele albo już wyżej wspomniana albo doszukaj się w tym sum całkowych albo twierdzenie Stolza też zadziała albo jakoś oszacuj z twierdzenia Lagrange’a chyba się da choć nie pamiętam jak) i \(\displaystyle{ \frac{n^3}{2(n+1)^3}}\). Potem twierdzenie o arytmetyce granic i twierdzenie o trzech ciągach.
PS sumę kwadratów można też policzyć jak niżej. Pomysł Hypergeometricx z
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/48080/sum-of-first-n-squares-equals-fracnn12n16przy czym czwarta równość wynika z Hockey Stick Identity które na forum było już dowodzone.Hypergeometricx pisze:\begin{align}
\sum_{k=1}^nk^2&=\frac 12\sum_{k=1}^n k(k+1)+(k-1)k\\
&=\frac 12 \left[\sum_{k=1}^n k(k+1)+\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)\right]\\
&={\frac 12} \left[ 2\sum_{k=1}^n \binom {k+1}2+2\sum_{k=1}^{n-1}\binom {k+1}2\right]\\
&=\binom {n+2}3+\binom {n+1}3\\
&=\frac{{(n+2)}(n+1)n}6+\frac{(n+1)n{(n-1)}}6\\
&=\frac {n(n+1){(2n+1)}}6
\end{align}
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34303
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica ciagu
Janusz Tracz, nie strasz dziewczyny.
\(\displaystyle{ 1 \cdot 2+2 \cdot 3 +...+n(n+1)=1\cdot(1+1)+2\cdot(2+1)+...+n\cdot(n+1)=\blue{1^2}\,+1+\,\blue{2^2}\,+2+...+\,\blue{n^2}\,+n=...}\)
JK
Przecież a4karo napisał Ci:
No to masz
\(\displaystyle{ 1 \cdot 2+2 \cdot 3 +...+n(n+1)=1\cdot(1+1)+2\cdot(2+1)+...+n\cdot(n+1)=\blue{1^2}\,+1+\,\blue{2^2}\,+2+...+\,\blue{n^2}\,+n=...}\)
JK
-
ewap
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
Re: Granica ciagu
Bardzo pomocne oraz imponujace odpowiedzi powyzej, za ktore dziekuje.
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6 \cdot 2(n+1)^3} =}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{(n^2+n) \cdot (2n +1)}{12 \cdot (n+1)^3} =}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{2n^3 +n^2+2n^2+n}{12 \cdot (n+1)^3} =}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{2n^3 +3n^2+n}{12 \cdot (n+1)^3} =}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{n^3}{n^3} \cdot \frac{2+ \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{12 \cdot (1+ \frac{1}{n})^3} = \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6 \cdot 2(n+1)^3} =}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{(n^2+n) \cdot (2n +1)}{12 \cdot (n+1)^3} =}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{2n^3 +n^2+2n^2+n}{12 \cdot (n+1)^3} =}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{2n^3 +3n^2+n}{12 \cdot (n+1)^3} =}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{n\to\infty}} \frac{n^3}{n^3} \cdot \frac{2+ \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{12 \cdot (1+ \frac{1}{n})^3} = \frac{1}{6}}\)
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34303
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Granica ciagu
No ale to nie jest ta granica, wzięłaś sumę kwadratów, a to tylko połowa tej sumy, którą masz w liczniku...
JK
-
ewap
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
Re: Granica ciagu
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)+\frac{1}{2} \cdot{n} \cdot (1+n)}{6 \cdot 2(n+1)^3}=}\)
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{(n^2+n) \cdot (2n+1)+\frac{1}{2} \cdot{n} + \frac{1}{2} \cdot n^2}{12 \cdot (n+1)^3}=}\)
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{2n^3+n^2+2n^2+n+\frac{1}{2} \cdot n + \frac{1}{2} \cdot n^2}{12 \cdot (n+1)^3}=}\)
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{2n^3+ \frac{7}{2}n^2+\frac{1}{2} \cdot n}{12 \cdot (n+1)^3}=}\)
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{ n^3}{n^3} \cdot \frac{2+ \frac{7}{2\cdot n} + \frac{1}{2 \cdot n^2}}{12 \cdot (1+ \frac{1}{n})^3} = \frac {1}{6}}\)
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{(n^2+n) \cdot (2n+1)+\frac{1}{2} \cdot{n} + \frac{1}{2} \cdot n^2}{12 \cdot (n+1)^3}=}\)
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{2n^3+n^2+2n^2+n+\frac{1}{2} \cdot n + \frac{1}{2} \cdot n^2}{12 \cdot (n+1)^3}=}\)
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{2n^3+ \frac{7}{2}n^2+\frac{1}{2} \cdot n}{12 \cdot (n+1)^3}=}\)
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to\infty}} \frac{ n^3}{n^3} \cdot \frac{2+ \frac{7}{2\cdot n} + \frac{1}{2 \cdot n^2}}{12 \cdot (1+ \frac{1}{n})^3} = \frac {1}{6}}\)
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34303
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
ewap
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 36 razy
Re: Granica ciagu
Dziekuje za komentarze.
Czy tak powinna wygladac ta granica?
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n \cdot (n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{(1+n) \cdot n}{2}}{2 \cdot (n+1)^3}}\)
Czy tak powinna wygladac ta granica?
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n \cdot (n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{(1+n) \cdot n}{2}}{2 \cdot (n+1)^3}}\)