Oblicz granicę ciągu:
\(\displaystyle{ ((n+1)^{k}-n^{k})}\) , \(\displaystyle{ k \in (0;1)}\)
jak to pomoże to to zadanie ze stankiwicza, odpowiedź: 0
granica ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 298
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 73 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
granica ciągu
Można tak:
\(\displaystyle{ (n+1)^k-n^k= n^k \cdot \left( \left(1+\frac1n \right)^k -1\right) =
n^{k-1} \cdot \frac{\left(1+\frac1n \right)^k -1}{\frac{1}{n}}}\)
Z definicji pochodnej wiemy, że dla \(\displaystyle{ f(x)=x^k}\) mamy:
\(\displaystyle{ f'(1)= \lim_{h\to 0} \frac{(1+h)^k-1}{h}}\)
Ale \(\displaystyle{ f'(1)=k}\), zatem i ta granica jest równa \(\displaystyle{ k}\). Stąd wniosek, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1+\frac1n \right)^k -1}{\frac{1}{n}}=k}\)
Ponieważ jednocześnie:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n^{k-1}=0}\)
więc dostajemy tezę.
Q.
\(\displaystyle{ (n+1)^k-n^k= n^k \cdot \left( \left(1+\frac1n \right)^k -1\right) =
n^{k-1} \cdot \frac{\left(1+\frac1n \right)^k -1}{\frac{1}{n}}}\)
Z definicji pochodnej wiemy, że dla \(\displaystyle{ f(x)=x^k}\) mamy:
\(\displaystyle{ f'(1)= \lim_{h\to 0} \frac{(1+h)^k-1}{h}}\)
Ale \(\displaystyle{ f'(1)=k}\), zatem i ta granica jest równa \(\displaystyle{ k}\). Stąd wniosek, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1+\frac1n \right)^k -1}{\frac{1}{n}}=k}\)
Ponieważ jednocześnie:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n^{k-1}=0}\)
więc dostajemy tezę.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 298
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 73 razy