Matematyka.pl

Zainspirowany przez Zordona zakładam temat o metodzie liczenia granic, w których występuje "e".
W jaki sposób poprawnie liczy się poniższą granicę?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ( \frac{n+4}{n} ) ^{-n ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ( \frac{n+4}{n} ) ^{-n ^{2} } = \lim_{n \to \infty} ((1 + \frac{4}{n}) ^ {\frac{n}{4}})^{-4n}}\)

Nie czytałem poprzedniego tematu i nie za bardzo ogarniam problem chyba, w każdym razie granicą jest 0.

A dalej?

No a co dalej? Przekształcenie jest jasne chyba, takich przykładów się robi na pęczki, wychodzi symbol \(\displaystyle{ \frac{1}{\infty}}\)
No to chyba nietrudno oszacować ile to jest, chyba że potrzebujecie dowodu.

Chodzi mi o poprawnie formalnie zapis krok po kroku. Czy uważasz, że można jeszcze jedno cenne przekształcenie zrobić tutaj przez podaniem ostatecznej odpowiedzi?

Mnie uczyli tak (przepisane zywcem z zeszytu z mojego semestru na politechnice, wykladowca: profesor Fryszkowski):

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n} \rightarrow 1 \\ b_{n} \rightarrow \infty \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n}^{b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1+(a_{n}-1) \right)^\frac{1}{a_{n}-1} \right]^{b_{n}(a_{n}-1)}}\)

Przyklad:

\(\displaystyle{ a_{n}-1 = \frac{4}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[\left(1+ \frac{4}{n} \right)^\frac{n}{4} \right]^{ \frac{-4n^{2}}{n} } = 0}\)

Pisało sie od razu wynik, bez zadnych przeksztalcen
+ jedna strzalka od nawiasu kwadratowego do "e", druga strzalka do wykladnika "\(\displaystyle{ -
\infty}\)"

Tak pisalismy na wykladzie/cwiczeniach i bylo "niby" dobrze

Tak, bo Pan Profesor całą teorię zrobił za was.
Osobiście się mi bardzo nie podobają wszelkie takie machlojkowe sposoby liczenia granic, gdzie występuje e. W tym przypadku jest jeszcze ciutkę inaczej, gdyż niby tam e się pojawia, ale w wyniku go nie ma.
Odpytywany skorzystałbym z tożsamości \(\displaystyle{ a^b = e^{b\ln a}}\). Wtedy nie ma problemu z potęgowaniem w wykładniku (nieograniczonym), tylko zamieniamy na mnożenie, dostajemy zwykłą granicę z e mnożoną przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) - obydwie istnieją, ich iloczyn nie jest symbolem nieoznaczonym, więc całość jest zerem.

Podręcznik Krysicki / Włodarski nie udziela jednoznacznej odpowiedzi na ten szczegół, jednakże na podstawie przykładu tuż po ogólnym wzorze na "e" na stronie 35 u góry oraz na podstawie przykładu zad.2.14 str. 37 c) można uznać, że podstawienie po prostu "e" jest poprawne (ale wiadomo że nikt nie chciałby się uczyć z błędami - stąd ta dyskusja). Tam jest napisane coś takiego:

\(\displaystyle{ u _{n} = [(1+ \frac{4}{n} ) ^{ \frac{n}{4} } ] ^{4}}\).
Podstawiając we wzorze \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1 + a_{n} ) ^{ \frac{1}{ a_{n} } } = e}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = 4 / n}\) otrzymujemy, że granicą ciągu \(\displaystyle{ {u _{n} }}\) jest \(\displaystyle{ e ^{4}}\).

W zadaniu chodzi o obliczenie pewnego kapitału końcowego gdy oprocentowanie odbywa się w sposób ciągły.
\(\displaystyle{ K = \lim_{ m\to \infty } K _{m} = \lim_{m \to \infty } k(1 + \frac{p}{100m} ) ^{mt} = k \lim_{m \to \infty } [(1 + \frac{p}{100m} ) ^{100m / p} ] ^{pt / 100} = ke ^{pt / 100}}\)

Rogal, spróbuję tak podstawić jak radzisz.
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{n+4}{n} ) ^{-n ^{2} } = e ^{-n ^{2} * ln \frac{n+4}{n} }}\)
Wyrażając się kolokwialnie, minus nieskończoność razy zero to wyrażenie nieoznaczone, więc posługując się regułą de L'Hospitala liczę do czego dąży minus wykładnik
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n ^{2} * ln \frac{n+4}{n} = \frac{ln \frac{n+4}{n} }{ \frac{1}{n ^{2} } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{ \frac{n}{n+4} }{ \frac{- 2}{n ^{3} } } = \infty}\)

Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{n+4}{n} ) ^{-n ^{2} } = e ^{- \infty } = 0}\)

Spoko, tylko czuj różnicę - tutaj podnosisz do potęgi 4, a nie do zależnej od zmiennej. Takie liczenie jest jak najbardziej poprawne. Krysicki&Włodarski mają błędy w odpowiedziach, ale nie w rozumowaniach.

Tak, do potęgi 4, ale jest jeszcze drugi przykład, w którym wykładnik to np. "mt". Policzyłem powyżej tak jak radziłeś.

Osobiście mniej razi mnie taki sposób zapisu jaki przytoczył argv niż stosowanie reguły de l'Hospitala do liczenia granicy ciągu

Ja jeszcze popatrzylem dokladnie w zeszyt(w koncu to juz bylo 3 lata temu) i faktycznie jest tam tez sposob Rogala ale chyba bardziej jako ciekawostka bo wszystkie przyklady z cwiczen sa liczone tak jak napisalem powyzej
Moze ma znaczenie fakt ze to byla matematyka zaoczna i glowny nacisk sie kladlo na liczenie niz "semantyczna" poprawnosc czy tez dowody Jedyne co bylo kluczowe to zeby liczyc granice "w jednym ciagu" a nie jedna wewnatrz drugiej i sobie cos skracac

Majorkan pisze: stosowanie reguły de l'Hospitala do liczenia granicy ciągu

Jednak jakoś trzeba policzyć ile to jest
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } e ^{-n ^{2} * ln \frac{n+4}{n} }}\)
Jak można inaczej?



\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ( \frac{n+4}{n} ) ^{-n ^{2} } = \lim_{n \to \infty} ((1 + \frac{4}{n}) ^ {\frac{n}{4}})^{-4n} = e ^{-4n}}\)
A przede wszystkim czy tak wolno?

Przyklad z Gewert/Skoczylas str 59:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+1} \right)^{\sqrt{n}} =
\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2+\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n^{2}}} \right)^{\sqrt{n}} = 2^{\infty} = \infty}\)

wiec mi sie wydaje ze chyba wolno ... ale lepiej poczekac na odpowiedz wagi ciezkiej bo sam jestem ciekawy jak to w koncu poprawnie jest

argv pisze: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2+\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n^{2}}} \right)^{\sqrt{n}} = 2^{\infty}}\)

Przepisałeś cały przykład czy skróciłeś?