Matematyka.pl

Oj, Arku.... Przecież napisałeś trochę wcześniej

Przecież wiem co mówiłem chodziło mi o zbieżność początkowego ciągu w postaci rekurencji gdzie nie było mowy o ilorazie kolejnych fibonaccich w końcu wiem o co mi biegało a różnica między twoim przedstawieniem a moim różniła się o przesunięcie w indeksach o jeden...

A to co rzekomo wykazał JK a o czym mówiłem to ty wykazałeś...

arek1357 pisze: ↑21 paź 2022, o 11:30 A to co rzekomo wykazał JK

Oj, Arku, Arku, czytaj ze zrozumieniem...

JK

Czytam ze zrozumieniem dla mnie czarne to nie białe...

Hej, wiem że już trochę czasu minęło, ale nie miałem pojęcia że post ten tak wybuchł w odpowiedziach, więc podzielę się tym jak moim zdaniem najłatwiej to zrobić, musimy znaleźć tylko dwa podciągi, dokładniej jeden dla parzystych, drugi dla nieparzystych wyrazów ciągu, oba są monotoniczne i zbiegają do granicy podanej wcześniej, więc nasz cały ciąg także do niej zbiega, dziękuję serdecznie wszystkim za pomoc

Jan Kraszewski pisze: ↑19 paź 2022, o 23:55 Akurat jak już pokażesz, że ten ciąg jest zbieżny do granicy \(\displaystyle{ g}\), to wyznaczenie tej granicy jest proste:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}+1}}\)

czyli \(\displaystyle{ g=\frac{1}{1+g}}\) itd.

Przyda mi się to do mojego innego zadania, ale chciałbym zapytać, czemu to jest legalne? Czy tu chodzi o prostą arytmetykę granic? Rozumiem, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}a_{n}}\) i że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}+1}=\frac{\lim_{n\to \infty}1}{\lim_{n\to \infty}(a_{n}+1)}}\) itd., tak? Tak mogę to uzasadnić?

MartaMaWszy pisze: ↑30 paź 2022, o 19:59 Hej, wiem że już trochę czasu minęło, ale nie miałem pojęcia że post ten tak wybuchł w odpowiedziach, więc podzielę się tym jak moim zdaniem najłatwiej to zrobić, musimy znaleźć tylko dwa podciągi, dokładniej jeden dla parzystych, drugi dla nieparzystych wyrazów ciągu, oba są monotoniczne i zbiegają do granicy podanej wcześniej, więc nasz cały ciąg także do niej zbiega, dziękuję serdecznie wszystkim za pomoc

To akurat nie jest takie proste ani oczywiste

\(\displaystyle{ a_{n+2}-a_n=\frac{1-a_n-a_n^2}{a_n+2}}\), więc tak od razu nie widać, że podciągi parzysty i nieparzysty są monotoniczne.

Fajnie za to działa taki argument (oczywiście pamiętamy, że wszystkie wyrazy ciągu od pewnego miejsca są w przedziale `(1/2,1)`):
Jeżli `a_n<\frac{\sqrt5-1}{2}`, to `a_{n+1}>\frac1{\frac{sqrt5-1}{2}-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}` i vice versa.
Jeżli teraz zauważymy, że
`a_{n+1}-a_n=\frac{1}{a_n+1}-\frac{1}{a_{n-1}+1}=\frac{a_{n-1}-a_n}{(a_n+1)(a_{n-1}+1)}`, skąd wynika, że
`|a_{n+1}-a_n|<\frac{4}{9}|a_{n}-a_{n-1}|` , to zbieżność ciągu `a_n` dostajemy natychmiast.

vpprof pisze: ↑1 lis 2022, o 03:22 Czy tu chodzi o prostą arytmetykę granic? Rozumiem, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}a_{n}}\) i że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}+1}=\frac{\lim_{n\to \infty}1}{\lim_{n\to \infty}(a_{n}+1)}}\) itd., tak? Tak mogę to uzasadnić?

Myślę, że warto, abyś zajrzał do podręcznika i przeczytał stosowne twierdzenia.

To, co napisałeś jest prawdą pod warunkiem, że ciąg `a_n` ma granicę, a w drugim przypadku ta granica musi być dodatkowo różna od `0` (bo inaczej prawa strona nie ma sensu)

Według mnie cała ta dyskusja to dyskusja o niczym, bo od prawie samego początku znany jest wzór jawny , gdzie bardzo łatwo obliczyć granicę, potem robi się cała chryja bo J. Kraszewski przypisuje sobie to co zrobił a4karo, który w końcu udowodnił to dla postaci rekurencyjnej ale J. P. II Kraszewski tylko zrobił to co na samym początku się nie robi lecz przy akompaniamencie a4karo twierdził, że to zrobił... Ja znowu od początku twierdziłem, że niczego nie dokonał co podtrzymuję, oraz, że otwartych drzwi się nie wyważa więc cała reszta co robił a4karo jak najbardziej dydaktyczna ale to tylko sztuka dla sztuki. Po znalezieniu wzoru jawnego wszystko było oczywiste... jak na dłoni...
Mieliśmy tu oprócz zadania do czynienia z intrygą i manipulacją...
Howgh...

@a4karo Tak tak udowodniłem, że mój ciąg jest monotoniczny i ograniczony czyli zbieżny, tylko tego nie napisałem, żeby nie rozdymać mojego posta.