Matematyka.pl

Mam taką granicę do policzeina

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n( \sqrt[n]{\ln n}-1)}\)

Czy mógłby ktoś sprawdzić moje rozumowanie? (oczywiście \(\displaystyle{ \ln \ln x \rightarrow \infty}\))

\(\displaystyle{ n( \sqrt[n]{\ln n}-1) \ge \ln \ln n}\)

\(\displaystyle{ e^{ n( \sqrt[n]{\ln n}-1)} \ge \ln n}\)

\(\displaystyle{ e^{n \cdot \sqrt[n]{\ln n}} \ge e^{n} \cdot \ln n}\)

\(\displaystyle{ (e^{\sqrt[n]{\ln n}})^{n} \ge e^{n} \cdot \ln n}\)

Potęgujemy obustronnie wykładnikiem \(\displaystyle{ 1/n}\)

\(\displaystyle{ e^{\sqrt[n]{\ln n}} \ge e\cdot \sqrt[n]{\ln n}}\)

\(\displaystyle{ e^k \ge ke}\)

co zachodzi dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\)

co jest prawdą bo \(\displaystyle{ k=\sqrt[n]{\ln n} >1}\)

tylko znowu jak udowodnić, że \(\displaystyle{ e^{k} \ge ke}\) i tak przy okazji jak udowodnić, że \(\displaystyle{ e^{x} \ge 1+x}\) bez używania rachunku różniczkowego. (Dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\) )

Z nierówności Bernoullego, dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ 1+x\leq\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\xrightarrow [n\to\infty]{} e^x}\).

Jest to prawda dla \(\displaystyle{ x \ge -1}\), a dla \(\displaystyle{ x < -1}\) - nierówność jest trywialna: ujemne < dodatnie.

Tu masz dowód nier. Bern. dla \(\displaystyle{ x \in (-1,0)}\) :

Dzięki wielkie, a co do reszty, nie ma błędu?

Nie, nie ma błędu.