Jakie są różne sposoby obliczenia \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} }\)
Jedną z metod jest ta z \(\displaystyle{ \sqrt[2n]{2n} = \sqrt{ \sqrt[n]{2} \sqrt[n]{n} }}\) i tego, iż \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}}\) dązy do 1.
Jakie sa inne
Elementarnie i inaczej
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11421
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Elementarnie i inaczej
A tu inny dowód:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input?i=n%5E%281%2Fn%29%3D
Ostatnio zmieniony 11 gru 2023, o 08:35 przez admin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Aktywny link do strony zewnętrznej!
Powód: Aktywny link do strony zewnętrznej!
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4077
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Elementarnie i inaczej
de l’Hôpital:
AM-GM-1:
AM-GM-2:
Bernoulli:
Newton:
Stolz–Cesàro:
Gelfand:
Ostatnio zmieniony 11 gru 2023, o 08:33 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Aktywne linki do stron zewnętrznych!
Powód: Aktywne linki do stron zewnętrznych!
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Elementarnie i inaczej
Gdyby \(\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{n}>m>1}\) to dla nieskończenie wiele `n` zachodziłoby \(\displaystyle{ n\ge m^n}\)
Dodano po 6 godzinach 10 minutach 41 sekundach:
Oznaczmy przez `g` granicę tego ciągu (istnieje bo ciąg jest malejący od `n>3` i ograniczony z dołu przez `1`).
Wtedy
\(\displaystyle{ g \leftarrow (2n)^{1/2n}=2^{1/2n}\sqrt{n^{1/n}} \rightarrow \sqrt{g}}\)
skąd `g=1`
Dodano po 6 godzinach 10 minutach 41 sekundach:
Oznaczmy przez `g` granicę tego ciągu (istnieje bo ciąg jest malejący od `n>3` i ograniczony z dołu przez `1`).
Wtedy
\(\displaystyle{ g \leftarrow (2n)^{1/2n}=2^{1/2n}\sqrt{n^{1/n}} \rightarrow \sqrt{g}}\)
skąd `g=1`
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11421
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Elementarnie i inaczej
Eleganckie ale raczej juz było... ; a może szereg \(\displaystyle{ \sum_{n} (\sqrt[n]{n}- 1)^2 }\) jest zbieżny
Dodano po 51 sekundach:
Dodano po 51 sekundach:
czylide l’Hôpital:
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4077
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Elementarnie i inaczej
\(\displaystyle{ x^{1/x}=e^{\ln x/x}}\) no i \(\displaystyle{ \ln x/x}\) dąży do zera z de l’Hôpitala. Swoją drogą każdy sposób na pokazanie, że
\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n}\to 0 }\)
można uznać za dowód \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to 1 }\). Przykładowo można pokazać całkując \(\displaystyle{ 1/x}\) metodą trapezów, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k}- \frac{1}{2k^2} \right) \le \frac{\ln n}{n} \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k}+ \frac{1}{2k^2} \right).}\)
A to znów daje równoważne podejście. Pokażmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \to 0}\). Zwykle to się szacuje przez logarytm ale nie o to mi chodzi. Pokazuję jedynie, że problem \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to 1 }\) można relatywnie łatwo wysłowić w kontekście innych całkiem znanych granic. W sumie to nic dziwnego wszak \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}-1 \approx \frac{\ln n}{n} }\).