Matematyka.pl

Jakie są różne sposoby obliczenia \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} }\)

Jedną z metod jest ta z \(\displaystyle{ \sqrt[2n]{2n} = \sqrt{ \sqrt[n]{2} \sqrt[n]{n} }}\) i tego, iż \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}}\) dązy do 1.

Jakie sa inne

A tu inny dowód:

Gdyby \(\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{n}>m>1}\) to dla nieskończenie wiele `n` zachodziłoby \(\displaystyle{ n\ge m^n}\)

Dodano po 6 godzinach 10 minutach 41 sekundach:
Oznaczmy przez `g` granicę tego ciągu (istnieje bo ciąg jest malejący od `n>3` i ograniczony z dołu przez `1`).
Wtedy

\(\displaystyle{ g \leftarrow (2n)^{1/2n}=2^{1/2n}\sqrt{n^{1/n}} \rightarrow \sqrt{g}}\)
skąd `g=1`

Eleganckie ale raczej juz było... ; a może szereg \(\displaystyle{ \sum_{n} (\sqrt[n]{n}- 1)^2 }\) jest zbieżny

Dodano po 51 sekundach:

de l’Hôpital:

czyli

mol_ksiazkowy pisze: ↑10 gru 2023, o 22:48

de l’Hôpital:

czyli

\(\displaystyle{ x^{1/x}=e^{\ln x/x}}\) no i \(\displaystyle{ \ln x/x}\) dąży do zera z de l’Hôpitala. Swoją drogą każdy sposób na pokazanie, że
można uznać za dowód \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to 1 }\). Przykładowo można pokazać całkując \(\displaystyle{ 1/x}\) metodą trapezów, że
A to znów daje równoważne podejście. Pokażmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \to 0}\). Zwykle to się szacuje przez logarytm ale nie o to mi chodzi. Pokazuję jedynie, że problem \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to 1 }\) można relatywnie łatwo wysłowić w kontekście innych całkiem znanych granic. W sumie to nic dziwnego wszak \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}-1 \approx \frac{\ln n}{n} }\).