Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+......+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)}\)

Jak policzyć tą granicę ? Zawsze liczyłem granicę, kiedy to była suma ciągu arytmetycznego lub geometrycznego, a tutaj nie wiem jaki to jest ciąg, tylko znam jego wyraz ogólny.

Wsk \(\displaystyle{ \frac{2}{1\cdot 3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}}\)

Nadal mi nic nie mówi ta wskazówka, a jeszcze bardziej mi skomplikowała, bo skąd u Ciebie jest dwójka w liczniku ?

Policz, to będziesz wiedzieć


Wsk \(\displaystyle{ \frac{2}{3\cdot 5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}\)

I mogę liczyć tak dalej i jak mam później dodać te wszystkie ułamki ? Nie rozumiem za bardzo tych wskazówek.

No to policz tak dalej. Może coś zobaczysz.

Wybacz, ale nadal nic widzę. Rozpisałem sobie i widzę tylko pewien algorytm jak rozpisywać kolejnej liczby, ale jak to się ma do granicy to nie mam zielonego pojęcia.

Ile wynosi suma dwóch pierwszych wyrazów? Trzech pierwszych? czterech pierwszych?
Jedną z umiejętności, które trzeba posiąść w matematyce jest sztuka obserwacji.

Suma wgląda tak \(\displaystyle{ \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+....}\). Suma pierwszych dwóch to \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\), a suma pierwszych trzech, to \(\displaystyle{ \frac{3}{7}}\), a suma pierwszych czterech, to \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\). Widać, że licznik zwiększa się o jeden, a mianownik o dwa. Widać, że mianownik szybciej rośnie, to granica jest zerem, zgadza się ? Od początku twierdziłem, że granica jest zerem

To źle twierdziłeś.
Skorzystaj ze wskazówek, uogólnij je i dodaj kilka pierwszych wyrazów

major37 pisze: ↑4 lut 2023, o 23:15 Od początku twierdziłem, że granica jest zerem

Taaak... Granica rosnącego ciągu o wyrazach dodatnich jest zerem. Brawo Ty!

I jeszcze jedno:

major37 pisze: ↑3 lut 2023, o 18:35tutaj nie wiem jaki to jest ciąg, tylko znam jego wyraz ogólny.

Problem polega na tym, że nie znasz jego wyrazu ogólnego i wszystkie te wskazówki są po to, żebyś ten wyraz ogólny wyznaczył. Mylisz wyraz ogólny ciągu z sumą początkowych wyrazów tego ciągu.

JK

Może używając wskazówek, spróbuj to zapisac tak

\(\displaystyle{ \begin{align}\frac{2}{1\cdot 3}&=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\\
\frac{2}{3\cdot 5}&=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\\
\frac{2}{5\cdot 7}&=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\\
&...\\
\frac{2}{(2n-3)\cdot (2n-1)}&=\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}\\
\frac{2}{(2n-1)\cdot (2n+1)}&=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}
\end{align}
}\)

W ogóle nie bardzo wiem, czemu a4karo masz w liczniku dwa, jak u mnie jest jeden, ale poszperałem w necie i znalazłem podobne zadanie i zrobiłem na wzór tego i granica wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Poprawny wynik ? A co do kąśliwych uwag Pana Jana Kraszewskiego, to dziękuję. Gdybym wiedział, jak to zrobić, to bym nie prosił o pomoc na forum. Nie każdy urodził się geniuszem, jak Pan i nie każdy wszystko wie od urodzenia. Czy Gauss, Newton, Einstein też wszystko umieli w wieku 5 lat ? Nie którzy wielcy matematycy całe życie próbowali rozwiązać różne zagadki, a dopiero później inny wielki matematyk pokazał dowód, różnych Hipotez, więc chyba ważne, że coś się próbuje i coś się robi, lepsze to, niż nie robić nic.

Mój wnuk, który jest w podstawówce, wie jak z całości zrobić połowę (lub z dwójki jedynkę). No ale skoro Ty masz dopiero 5 lat, to rzeczywiście możesz tego nie wiedzieć.

Za to porównanie siebie do Gaussa, Newtona czy Einsteina Ci się udało. Rzeczywiście masz zadatki na geniusza.