Niech \(\displaystyle{ f(x)=1-2\left| x\right| , a _{1}=a, a _{n+1}=f(a _{n})}\) dla n należącego do liczb naturalnych. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb \(\displaystyle{ a \in <-1,1>}\) że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest zbieżny.
Jak to zrobić? Udało mi się wykazać indukcyjnie, że dla takiego a, wszystkie \(\displaystyle{ a_{n} \in <-1,1>}\). Co zrobić dalej? Dowód monotoniczności już mi nie wychodzi, więc może trzeba to jakoś inaczej?
Dowód zbieżności ciągu rekurencyjnego
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Dowód zbieżności ciągu rekurencyjnego
Jak się zdaje dla \(\displaystyle{ a}\) postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}-1}\) ciąg zbiega do \(\displaystyle{ -1}\).
Q.
Q.
Dowód zbieżności ciągu rekurencyjnego
A jak to wykazać? Bo badanie monotoniczności też chyba nie da tutaj rezultatu.
Edit
Udowodniłem to indukcyjnie, mam nadzieję że to poprawna metoda w tym przypadku
Edit
Udowodniłem to indukcyjnie, mam nadzieję że to poprawna metoda w tym przypadku
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Dowód zbieżności ciągu rekurencyjnego
Nie wiem czy taką indukcję miałeś na myśli, ale zachodzi \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{2^k}-1\right) = \frac{1}{2^{k-1}}-1}\), więc przy takim punkcie startowym dojdziemy do \(\displaystyle{ 0}\), a potem po paru krokach ciąg zrobi się stały, więc i zbieżny.
Q.
Q.