Matematyka.pl

Potrzebuje pomocy w zrozumieniu następującego dowodu:
Niech \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }=g}\). Z definicji granicy wynika że dla każdej liczby \(\displaystyle{ \epsilon >0}\), a więc i dla \(\displaystyle{ \epsilon = 1}\). Spełniona jest nierówność:\(\displaystyle{ | a_{n} - g|<1}\) (ok).

Ponieważ (1) \(\displaystyle{ | a_{n}| = | a_{n} - g + g| \le \left | a_{n} - g \right| + \left| g \right|}\) (ok) więc dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) jest \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \le 1 + \left| g \right|}\) (tego już kompletnie nie rozumiem, jak na podstawie (1) został wyciągnięty taki wniosek?) z dalszą częścią dowodu sobie poradziłem, zatem nie będę jej przepisywał.

kp1311 pisze:\(\displaystyle{ | a_{n}| = | a_{n} - g + g| \le \left | a_{n} - g \right| + \left| g \right|}\) (ok) więc dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) jest \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \le 1 + \left| g \right|}\)

Pierwsza nierówność wynika z tzw. nierówności trójkąta (\(\displaystyle{ |x|+|y| \ge |x+y|}\), a druga właśnie z nierówności 1)\(\displaystyle{ |a_{n}-g|<1}\).

Przy (1) napisałem (ok) ponieważ ją rozumiałem
Nie rozumiem tylko jak z (1) wynika że \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \le 1 + \left| g \right|}\) ?
Możesz mi to jakoś rozpisać?

\(\displaystyle{ | a_{n} - g|<1}\)

teraz dodajmy \(\displaystyle{ |g|}\) stronami i dostajemy

\(\displaystyle{ | a_{n} - g|+|g|<1+|g|}\)

no i wystarczy skorzystać z przechodniości nierówności.

Chodzi o to (def granicy ciągu), że dla \(\displaystyle{ \varepsilon =1}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ \delta}\), że dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<\varepsilon =1}\).

Czyli u ciebie, jak weźmiemy sobie \(\displaystyle{ n>\delta}\) to już mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<1}\)

Teraz widzę
Jeszcze jedna mała wątpliwość, wychodzi na to że \(\displaystyle{ | a_{n} | < 1 + |g|}\) (ok), tyle że w mojej książce ta nierówność jest osłabiona...
To błąd w druku czy może ma to jakieś inne uzasadnienie?-- 16 cze 2009, o 19:48 --

fon_nojman pisze:Chodzi o to (def granicy ciągu), że dla \(\displaystyle{ \varepsilon =1}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ \delta}\), że dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<\varepsilon =1}\).

Czyli u ciebie, jak weźmiemy sobie \(\displaystyle{ n>\delta}\) to już mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<1}\)

Akurat z tym nie miałem problemu....

Z nierówności ostrej wynika nieostra więc błędu być nie może nierówność ostra jest również prawdziwa, ale pytanie co jest potrzebne w dalszej części dowodu.

Brzytwa pisze:Z nierówności ostrej wynika nieostra więc błędu być nie może nierówność ostra jest również prawdziwa, ale pytanie co jest potrzebne w dalszej części dowodu.

Jesteś pewien? W takim razie jeśli \(\displaystyle{ a<1}\) to wg. Ciebie również \(\displaystyle{ a \le 1}\) (przecież jest mniejsze więc nie może być równe)

Jest na odwrót: z nierówności nieostrej wynika ostra
np. jeśli \(\displaystyle{ a \le 1}\) to również \(\displaystyle{ a<1}\)-- 16 cze 2009, o 20:05 --A jeśli chodzi o dalszą część dowodu to z nią już nie potrzebuje pomocy
Dziękuje za pomoc.

kp1311 pisze:

Brzytwa pisze:Z nierówności ostrej wynika nieostra więc błędu być nie może nierówność ostra jest również prawdziwa, ale pytanie co jest potrzebne w dalszej części dowodu.

Jesteś pewien? W takim razie jeśli \(\displaystyle{ a<1}\) to wg. Ciebie również \(\displaystyle{ a \le 1}\) (przecież jest mniejsze więc nie może być równe)

Jest na odwrót: z nierówności nieostrej wynika ostra
np. jeśli \(\displaystyle{ a \le 1}\) to również \(\displaystyle{ a<1}\)

-- 16 cze 2009, o 20:05 --

A jeśli chodzi o dalszą część dowodu to z nią już nie potrzebuje pomocy
Dziękuje za pomoc.

Proponuję jeszcze raz to przemyśleć I mała podpowiedź: \(\displaystyle{ a \ge 1 \ \Leftrightarrow \ (a=1 \ \vee \ a>1)}\)

P.S.

Tak na wszelki wypadek dam kontrprzykład: \(\displaystyle{ 1 \ge 1 \ \Rightarrow \ 1>1}\) - implikacja raczej średnio prawdziwa...

Przemyślałem jeszcze jeden raz oraz dogłębnie przeanalizowałem kontrprzykład i pozostaje mi już tylko przyznać Ci racje