Matematyka.pl

Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości
\(\displaystyle{ a_{n} = 3^{n} \rightarrow ∞}\)

Jakieś własne próby? W czym tkwi kłopot?

Próbowałem zrobić to dowodem nie wprost, ale zaciąłem się

Nie wprost to nie jest tu najlepsza metoda.

Podpowiem: użyj definicji. Pokaż, że od pewnego miejsca wszystkie wyrazy są większe niż ustalone `M>0`

A ja bym właśnie rozumował nie wprost: gdyby ciąg nie był rozbieżny do nieskończoności, to z uwagi na monotoniczność byłby ograniczony z góry. Niech \(\displaystyle{ M = \sup \{ 3^n : n \in \mathbb{N} \}}\). Wtedy dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) byłoby \(\displaystyle{ 3^n > \frac{M}{2}}\), a stąd \(\displaystyle{ 3^{n+1} > \frac{3}{2} M}\), co jest sprzeczne z definicją \(\displaystyle{ M}\).

Na pewnym poziomie pokazanie że ten ciąg jest monotoniczny jest tak samo trudne jak pokazanie że biegnie do nieskończoności

\(\displaystyle{ 3^{n+1} = 3 \cdot 3^n \ge 3^n}\), bo \(\displaystyle{ 3x \ge x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 0}\) (co wynika natychmiast z aksjomatów ciała uporządkowanego).

Ciekawe, jaki równie prosty dowód rozbieżności masz na myśli. ;>

Wow, aksjomaty ciała - jestem pod wrażeniem argumentacji.
Problem jest tylko w tym, że gdybyś studentowi pierwszego roku kropidłologii na Politechnice im. Oberprofesora Czarnka powiedział coś takiego, to fajle by mu spełły i nabrałby odrazy do matematyki na całe życie.

A prostych dowodów wprost jest wiele

a) wprost z definicji \(\displaystyle{ 3^n>M \Leftrightarrow n\log 3>\log M \Leftrightarrow n>\frac{\log M}{\log 3}}\), więc....
b) też wprost z definicji, jak nie zna logarytmów to może o nierówności Bernoulliego słyszał:
\(\displaystyle{ 3^n=(1+2)^n>1+2n>2n>n}\), więc dla `n>M`....
c) dla zawansowanych, którym Newton nie tylko z jabłkiem sie kojarzy \(\displaystyle{ 3^n=(1+2)^n=1+\binom{n}{1}\cdot 2+...>1+2n>n}\)
d) dla jeszcze bardziej zaawansowanych (czyli takich, co nie słyszeli ani o logarytmach, ani o Bernoullim, ani o Newtonie, ale liznęli ciagów geometrycznych)
\(\displaystyle{ n=1+...+1<1+3+3^2+...+3^{n-1}=\frac{3^n-1}{2}}\) co prowadzi do nierówności jak w b)


A jak chcesz sobie pożartować, to `n`-wymiarowa kostka o boku `3` zawiera `n` rozłącznych kostek jednostkowych - na przykład te, które zawierają wierzchołki postaci `(0,..,0,3,0,..)`. Stąd `3^n>n` i dalej jak w b)

a4karo pisze: ↑16 lis 2023, o 04:43Problem jest tylko w tym, że gdybyś studentowi pierwszego roku kropidłologii na Politechnice im. Oberprofesora Czarnka powiedział coś takiego, to fajle by mu spełły i nabrałby odrazy do matematyki na całe życie.

Nie sądzę, by zdolności poznawcze studentów kropidłologii były wyznacznikiem tego, co jest trudne w matematyce. Na aksjomaty ciała powołałem się zaś nie z uwagi na wartość dydaktyczną, tylko by podkreślić, że prostota tego dowodu nie opiera się na chowaniu trudności w mocnych twierdzeniach - teza wynika praktycznie od razu z tego, co matematycy uznają za najbardziej podstawowe fakty o liczbach rzeczywistych.

a4karo pisze: ↑16 lis 2023, o 04:43a) wprost z definicji \(\displaystyle{ 3^n>M \Leftrightarrow n\log 3>\log M \Leftrightarrow n>\frac{\log M}{\log 3}}\), więc....

Pierwszy krok to (między innymi) monotoniczność logarytmu jako funkcji \(\displaystyle{ (0, \infty) \to \mathbb{R}}\). Jeśli Tobie wolno się na nią powołać bez komentarza, to ja monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ 3^n}\) powinienem był raczej udowodnić pisząc jedynie: QED?

a4karo pisze: ↑16 lis 2023, o 04:43b) ... \(\displaystyle{ 3^n=(1+2)^n>1+2n>2n>n}\)

Nawet ostatnia nierówność w tym ciągu jest w zasadzie tej samej złożoności, co cały mój dowód - a korzystasz jeszcze z nieco trudniejszej nierówności Bernoulliego.

I tak dalej.

Nie ma wątpliwości, że wszystkie podane przez Ciebie dowody są proste. Nadal jednak sporą przesadą wydaje mi się stwierdzenie, że są równie proste jak monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ 3^n}\), co odważyłeś się zasugerować.

Chyba mielimy wode
Moje rachunki rozwiązują kompletnie zadanie. Twój dowód monotoniczności jest tylko kawałkiem: musisz to tego dodać to, co napisałeś wcześniej. A tam sa takie pojęcia jak supremum (których pewnie student na tym poziomie nie zna)
Poza tym, jeżeli można cos udowodnić prosto wprost, to tworzenie dowodu przez sprowadzenie do sprzeczności wydaje się być metodą mało naturalną. (wiadomo, że z każdym dowodem da się to zrobić, tylko po co). Mam zresztą wrażenie, że swój post zamieściłeś tyko po to, żeby pokazać że (nomen omen) Dasię