Matematyka.pl

Czy ktoś wie jak udowodnić, że granicę z \(\displaystyle{ (1-\frac{1}{n})^a}\) można przybliżyć jako \(\displaystyle{ e^\frac{-a}{n}}\)? Próbowałem chyba wszystkiego ze wzorem dwumianowym Newtona i sumą skończonego ciągu geometrycznego na czele, z czego wyszło \(\displaystyle{ 1-\frac{2a}{n}}\) a z tego raczej trudno wywnioskować, że ciąg ten jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 3\cdot (\frac{-a}{n})}\) (dlatego, bo próbowałem zastosować analogię do ciągu z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\), który jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 3\cdot 1=3}\))....

Dość zagadkowy jest Twój opis. Nie wiem co dokładnie masz na myśli pisząc granice przybliżam liczbą. Granica \(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\) to \(\displaystyle{ 1}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\), oraz \(\displaystyle{ a}\) było wcześniej ustalone. Więc nie ma tu nic do przybliżania. Może chodzi Ci o to, że dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ (1-1/n)^a \approx e^{-a/n}}\). Ale to też zdaje się mało ciekawe bo po prostu lewa i prawa strona dąży do \(\displaystyle{ 1}\), więc faktycznie są blisko siebie (praktycznie każdym sensie) te ciągi. Chyba musisz być bardziej konkretny.

Janusz Tracz pisze: ↑12 lis 2022, o 01:24 Może chodzi Ci o to, że dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ (1-1/n)^a \approx e^{-a/n}}\). Ale to też zdaje się mało ciekawe bo po prostu lewa i prawa strona dąży do \(\displaystyle{ 1}\), więc faktycznie są blisko siebie (praktycznie każdym sensie) te ciągi. Chyba musisz być bardziej konkretny.

Tak, dokładnie o to mi chodzi. Czyli wystarczy policzyć granicę z lewej strony i z prawej przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)?? Takie to proste i niepotrzebnie sobie skomplikowałem sprawę??? A \(\displaystyle{ a}\) może być dowolne (z liczb rzeczywistych a prawdopodobnie nawet zespolonych), bo cokolwiek przez nieskończoność dąży do 0, więc całość po prawej do \(\displaystyle{ e^{0}}\) czyli 1 a po lewej cokolwiek przez nieskończoność dąży do 0, nawias do 1 i \(\displaystyle{ 1^{a}=1}\)???

To pewnie nie jest tak do końca: mamy `\lim_{x\to 0} x=\lim_{x\to 0} x^2`, ale raczej nikt nie powie że `x\approx x^2`, bo te wyrażenie różną się o rząd.

Chodzi raczej o to, że gdy rozwiniemy `e^{-x}` w szereg w okolicy zera, to otrzymamy `e^{-x}\approx 1-x`, a stąd wynika już żądana własność.

Tomasz22 pisze: ↑12 lis 2022, o 14:27 Tak, dokładnie o to mi chodzi. Czyli wystarczy policzyć granicę z lewej strony i z prawej przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)?? Takie to proste i niepotrzebnie sobie skomplikowałem sprawę??? A \(\displaystyle{ a}\) może być dowolne (z liczb rzeczywistych a prawdopodobnie nawet zespolonych), bo cokolwiek przez nieskończoność dąży do 0, więc całość po prawej do \(\displaystyle{ e^{0}}\) czyli 1 a po lewej cokolwiek przez nieskończoność dąży do 0, nawias do 1 i \(\displaystyle{ 1^{a}=1}\)???

Ogólnie to zgadzam się z tym co a4karo Ci odpowiedział. To nie jest do końca tak jak mówisz dlatego prosiłem o pełen kontekst i dokładne sformowanie o jaki sens przybliżenia Ci chodzi. Ja pokazałem Ci tylko, że granice są równe. Z porównywaniem ciągów \(\displaystyle{ a_n,b_n}\) dążących do nieskończoności nie ma większych problemów bo można zbadać przykładowo \(\displaystyle{ a_n/b_n}\) lub \(\displaystyle{ |a_n-b_n|}\) by zrozumieć asymptotyczne tempo. Z ciągami zbieżnymi te metody (miary tempa) nie mają sensu bo mamy arytmetykę granic. Więc przykładowo sensownym sposobem badania tempa zbieżności dla ciągów zbieżnych byłoby policzenie granicy
w zależności od \(\displaystyle{ \xi}\). Jako, że ciągi \(\displaystyle{ (1-1/n)^a, e^{-a/n}}\) są zbieżne do \(\displaystyle{ 1}\) mamy tu symbol \(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\) (zakładam, że \(\displaystyle{ \xi>0}\)). Taka granica powie coś o tempie zbieżności. Bo pomiędzy \(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\), a \(\displaystyle{ e^{-a/n}}\) jest trochę 'miejsca', a mu się dowiemy jak szybko to miejsce zanika wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\). Więc te małe wartości \(\displaystyle{ \left| (1-1/n)^a- e^{-a/n} \right|}\) próbujemy rozdmuchać czymś dużym \(\displaystyle{ n^{\xi}}\). Tylko nie wiadomo jak dużym \(\displaystyle{ n^{2}}\) czy \(\displaystyle{ n^{10}}\) wstawić aby granica stała się nieskończona? I to jest jakiś przykładowy sens porównywania ciągów zbieżnych. Tu mamy (dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\)):
bo rozwinięcia Taylora \(\displaystyle{ (1-x)^a- e^{-ax} }\) wokół \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ -a x^2/2+(3 a^2-2 a)/6 x^3+O(x^4)}\). Innymi słowy sensowne byłoby powiedzieć, że \(\displaystyle{ (1-1/n)^a \approx e^{-a/n}}\), a błąd przybliżenia jest w okolicach \(\displaystyle{ a/(2n^2) }\). Tylko, że ja to sobie teraz wszystko wymyśliłem bo sensownie wygląda i dalej nie wiem czy Tobie też o to chodził. Może masz na myśli inne rodzaj badania tempa.

Jeszcze rysuneczki dla przykładu:

Jeśli pominąć stałą \(\displaystyle{ -a/2}\) przy \(\displaystyle{ 1/n^2}\) to też widać dlaczego \(\displaystyle{ \left| (1-1/n)^a- e^{-a/n} \right| }\) zachowuje się jak \(\displaystyle{ 1/n^2}\) (z dokładnością do stałej multiplikatywnej):

Broń Boże nie chodziło o badanie tempa zbieżności a tylko o rachunki potwierdzające przybliżenie z pierwszego postu

Ja tak, to masz `(1-1/n)^n\approx e^{-1}` stąd `(1-1/n)^{an}\approx e^{-a}` a stąd `(1-1/n)^{a}\approx e^{-a/n}`

Dobra, pierwszą implikację rozumiem (potęga do potęgi) i to, że przy granicy wynoszącej \(\displaystyle{ e^{-1}}\) wystarczy ją policzyć przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), ale nie do końca rozumiem dlaczego ostatnia implikacja jest prawdziwa...

Podnosisz obie strony do potęgi `1/n`

a4karo pisze: ↑13 lis 2022, o 02:48 Podnosisz obie strony do potęgi `1/n`

Okej, już wszystko jasne, dzięki