Matematyka.pl

Wszędzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\)
1. Dowód na to, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = e.}\)

2. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnij podane równości:

c) \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} b_{n} =2 }\)
\(\displaystyle{ b_{1} = \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ b_{n+1} = \sqrt{2 + b_{n}} }\)

d) \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} c_{n} = \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ c_{1} = 1 }\)
\(\displaystyle{ c_{n+1} = 1 + \frac{1}{1 + c_{n}} }\)

3.Niech \(\displaystyle{ x_{n}}\) oznacza liczbę zer na końcu \(\displaystyle{ n!}\). Zbadać czy istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n}}{n} }\)

4. Uzasadnić, że nie istnieje ciąg, którego zbiorem punktów skupienia jest \(\displaystyle{ \QQ}\) (zbiór liczb wymiernych)
Tutaj dają wskazówkę, aby pokazać, że każda liczba niewymierna byłaby także punktem skupienia tego ciągu.

Z góry dziękuje za pomoc

1. Dowód zależy od tego, jaka jest przyjęta definicja liczby \(e\).

2. c) Przez indukcję możesz udowodnić, że ciąg jest ograniczony. Ograniczeniem górnym jest, jak można zgadywać, domniemana granica, czyli \(2\).
d) Może i nie jest monotoniczny, ale jeśli weźmiemy co drugi wyraz, to...

3. \(x_n=\left\lfloor\frac n5\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{5^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{5^3}\right\rfloor+\ldots\)
Liczbę \(\frac{x_n}n\) można szacować z góry przez pewien szereg geometryczny.

Dodano po 17 minutach 26 sekundach:
4. Ustalmy jakąś liczbę niewymierną \(x\) oraz rzeczywistą \(\varepsilon>0\). Chcesz pokazać, że istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu w odległości mniejszej niż \(\varepsilon\) od \(x\). Wiadomo, że istnieje pewna liczba wymierna w odległości mniejszej niż \(\frac{\varepsilon}2\) od \(x\). Liczba ta jest z założenia punktem skupienia ciągu, zatem...

1. Podali wcześniej definicje, że \(\displaystyle{ e = \lim_{n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}. }\)
2.
c) Rozumiem dziękuje.
d) Gdy podziele, \(\displaystyle{ c_{n}}\) na dwa podciągi:
\(\displaystyle{ d_{n}}\) - nieparzyste wyrazy ciągu \(\displaystyle{ c_{n}}\), jest rosnący, \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } d_{n} = \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ e_{n}}\) - parzyste wyrazy ciągu \(\displaystyle{ c_{n}}\), jest malejący, \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } e_{n} = \sqrt{2} }\)
Używając twierdzenia o trzech ciągach,
\(\displaystyle{ d_{n} \le c_{n} \le e_{n}}\)
już udowadniam, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } c_{n} = \sqrt{2} }\).

3. Nie rozumiem, co oznaczają te nawiasy \(\displaystyle{ \lfloor\ \rfloor}\).

4. Nie rozumiem, skąd wiadomo, że istnieje pewna liczba wymierna w odległości mniejszej niż \(\frac{\varepsilon}2\) od \(x\).

Isdre pisze: ↑22 sie 2022, o 20:043. Nie rozumiem, co oznaczają te nawiasy \(\displaystyle{ \lfloor\ \rfloor}\)

Część całkowita liczby, zwana też podłogą.

Isdre pisze: ↑22 sie 2022, o 20:044. Nie rozumiem, skąd wiadomo, że istnieje pewna liczba wymierna w odległości mniejszej niż \(\frac{\varepsilon}2\) od \(x\).

Bo liczby wymierne leżą gęsto w liczbach rzeczywistych.

JK

3.
Tworzę, więc \(\displaystyle{ y_{n} = \frac{n}{5}+\frac{n}{5^2}+\ldots+\frac{n}{5^n}}\)
\(\displaystyle{ y_{n} \ge x_{n} }\),
a potem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{y_{n} }{n} = \infty}\) ?

Isdre pisze: ↑22 sie 2022, o 20:04 1. Podali wcześniej definicje, że \(\displaystyle{ e = \lim_{n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}. }\)

Po rozwinięciu wyrażenie \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}\) składa się z \(n+1\) składników. To tak samo jak \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac1{k!}}\). Jak zatem możesz zapisać różnicę \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}-\sum_{k=0}^n \frac1{k!}}\)?

Isdre pisze: ↑22 sie 2022, o 20:04 2. d)
\(\displaystyle{ d_{n} \le c_{n} \le e_{n}}\)

Czy na pewno taką nierówność miałeś na myśli? Jeśli dobrze rozumiem, to definiujesz \(d_n = c_{2n-1}\) oraz \(e_n=c_{2n}\). Ale wtedy \(d_3=c_5>c_3\).

Isdre pisze: ↑22 sie 2022, o 20:31 3.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{y_{n} }{n} = \infty}\) ?

Nie. To jest szereg geometryczny zbieżny.

3a174ad9764fefcb pisze: ↑23 sie 2022, o 12:22 Po rozwinięciu wyrażenie \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}\) składa się z \(n+1\) składników. To tak samo jak \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac1{k!}}\). Jak zatem możesz zapisać różnicę \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}-\sum_{k=0}^n \frac1{k!}}\)?

\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{n-k} \frac{1}{ n^{k} } = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \frac{1}{ n^{k} }}\)

Wtedy różnice tą mogę zapisać jako
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \frac{1}{ n^{k} } - \sum_{k=0}^n \frac1{k!} = \sum_{k=0}^n \left( {n \choose k} \frac{1}{ n^{k} } - \frac1{k!}\right)}\)

idąc dalej kończę na

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \left( \frac{n! - (n-k)!n^{k}}{k!(n-k)!n^{k}} \right)}\)


albo jako
\(\displaystyle{ 1 + 1 + \frac{n-1}{2n} + \frac{(n-1)(n-2)}{6n ^{2} } + ... + \frac{1}{ n^{n} } - 1 - 1 - \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} - ... - \frac{1}{n!} }\)

z tym nie wiem co dalej zrobić

3a174ad9764fefcb pisze: ↑23 sie 2022, o 12:22 Czy na pewno taką nierówność miałeś na myśli? Jeśli dobrze rozumiem, to definiujesz \(d_n = c_{2n-1}\) oraz \(e_n=c_{2n}\). Ale wtedy \(d_3=c_5>c_3\).

Tak. W głowie skojarzyło się twierdzenie o granicy trzech ciągów oraz twierdzenie o granicy podciągu. O podciągu uznałem, że nie bo myślę, że to nie działa w dwie stronny, więc poszedłem w trzech ciągów, ale nie zauważyłem tego błędu.

3a174ad9764fefcb pisze: ↑23 sie 2022, o 12:22 Nie. To jest szereg geometryczny zbieżny.

Nie wiem co mogę z tym zrobić \(\displaystyle{ x_{n} }\).

Isdre pisze: ↑24 sie 2022, o 14:59 idąc dalej kończę na

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \left( \frac{n! - (n-k)!n^{k}}{k!(n-k)!n^{k}} \right)}\)

Świetnie. Ponieważ wygodniej mi się patrzy na liczbę dodatnią niż ujemną, to jednak zapiszę przeciwną różnicę. Mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac1{k!}-\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\left(1-\frac{n}n\cdot\frac{n-1}n\cdot\ldots\cdot\frac{n-k+1}n\right)}\)
Każdy składnik tej wielkiej sumy dąży do zera, ale to jeszcze nie rozwiązuje problemu, bo liczba składników nam rośnie. Jak zatem stwierdzić, że ta suma dąży do zera? Trzeba jej odciąć ogon składający się z nieskończenie wielu wyrazów.

Pokażemy, że granica jest równa zero z definicji. Weźmy dowolny \(\varepsilon>0\). Czy zgodzisz się, że istnieje takie \(N\in\NN\), że dla wszystkich \(n>N\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=N}^n \frac1{k!}<\frac{\varepsilon}2}\)?

Isdre pisze: ↑24 sie 2022, o 14:59 O podciągu uznałem, że nie bo myślę, że to nie działa w dwie stronny,

Trochę nie działa, ale czasem działa. W ogólności znalezienie dwóch podciągów zbieżnych nie implikuje zbieżności całego ciągu. Możesz użyć któregoś z poniższych faktów.

Fakt 1
Jeśli mamy dwa podciągi \((a_{b_k})_{k\in\NN}\) i \((a_{c_k})_{k\in\NN}\) ciągu \((a_n)_{n\in\NN}\) (tzn. \((b_k)_{k\in\NN}\) i \((c_k)_{k\in\NN}\) są rosnącymi ciągami liczb naturalnych) i te podciągi łącznie zawierają wszystkie wyrazy ciągu (tzn. \(\{b_k:k\in\NN\}\cup\{c_k:k\in\NN\}=\NN\)) i te podciągi mają wspólną granicę \(\lim_{k\to\infty}a_{b_k}=\lim_{k\to\infty}a_{c_k}=g\), to \(\lim_{n\to\infty}a_n=g\).

Fakt 2
Jeśli ciąg jest ograniczony i wszystkie jego podciągi zbieżne mają tę samą granicę, to ten ciąg jest zbieżny.

Isdre pisze: ↑24 sie 2022, o 14:59 Nie wiem co mogę z tym zrobić \(\displaystyle{ x_{n} }\).

Z jednej strony mamy oszacowanie \(\frac{x_n}n\le\frac15+\frac1{5^2}+\ldots=\frac14\). To oszacowanie jest w granicy realizowane przez podciąg \(\frac{x_{5^k}}{5^k}=\frac{5^{k-1}+\ldots+1}{5^k}=\frac{5^k-1}{4\cdot5^k}\to\frac14\)

Zatem jeśli istnieje granica, to jest nią \(\frac14\). Pytanie sprowadza się więc do tego, czy możemy zrobić też szacowanie z dołu przez ciąg dążący do \(\frac14\), czy może wskażemy podciąg, który nie dąży do \(\frac14\).

3a174ad9764fefcb pisze: ↑24 sie 2022, o 17:01 Pokażemy, że granica jest równa zero z definicji. Weźmy dowolny \(\varepsilon>0\). Czy zgodzisz się, że istnieje takie \(N\in\NN\), że dla wszystkich \(n>N\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=N}^n \frac1{k!}<\frac{\varepsilon}2}\)?

Tak

3a174ad9764fefcb pisze: ↑24 sie 2022, o 17:01 Świetnie. Ponieważ wygodniej mi się patrzy na liczbę dodatnią niż ujemną, to jednak zapiszę przeciwną różnicę. Mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac1{k!}-\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\left(1-\frac{n}n\cdot\frac{n-1}n\cdot\ldots\cdot\frac{n-k+1}n\right)}\)

Składniki sumy będą małymi ułamkami oraz za każdym razem są mnożone przez coraz mniejsze ułamki. Czy to nie wystarczy, aby pokazać, że różnica dąży do 0?

3a174ad9764fefcb pisze: ↑24 sie 2022, o 17:01 Fakt 1
Jeśli mamy dwa podciągi \((a_{b_k})_{k\in\NN}\) i \((a_{c_k})_{k\in\NN}\) ciągu \((a_n)_{n\in\NN}\) (tzn. \((b_k)_{k\in\NN}\) i \((c_k)_{k\in\NN}\) są rosnącymi ciągami liczb naturalnych) i te podciągi łącznie zawierają wszystkie wyrazy ciągu (tzn. \(\{b_k:k\in\NN\}\cup\{c_k:k\in\NN\}=\NN\)) i te podciągi mają wspólną granicę \(\lim_{k\to\infty}a_{b_k}=\lim_{k\to\infty}a_{c_k}=g\), to \(\lim_{n\to\infty}a_n=g\).

Fakt 2
Jeśli ciąg jest ograniczony i wszystkie jego podciągi zbieżne mają tę samą granicę, to ten ciąg jest zbieżny.

Dzięki

3a174ad9764fefcb pisze: ↑24 sie 2022, o 17:01 To oszacowanie jest w granicy realizowane przez podciąg \(\frac{x_{5^k}}{5^k}=\frac{5^{k-1}+\ldots+1}{5^k}=\frac{5^k-1}{4\cdot5^k}\to\frac14\)

Ok

Isdre pisze: ↑24 sie 2022, o 17:41 Składniki sumy będą małymi ułamkami oraz za każdym razem są mnożone przez coraz mniejsze ułamki. Czy to nie wystarczy, aby pokazać, że różnica dąży do 0?

Czy tak samo można powiedzieć, że \(\displaystyle{ 1=\lim_{n\to0}1=\lim_{n\to0}\sum_{k=0}^n\frac1{n+1}=0}\)?

Rozumiem przesłanie