Matematyka.pl

Czy istnieje \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty} \frac{a_0+...+a_n}{n+1}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem \(\displaystyle{ 0, 1, 0, 0, 2,0, ... }\) czyli takim, że \(\displaystyle{ a_{n^2}=n}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), a wszystkie inne wyrazy są równe \(\displaystyle{ 0}\)

Wystarczy zauważyć, że:

\(\displaystyle{ a_{n}=0,1,0,0,2,0,0,0,0,3,0,0,...,4,0,0,...}\)

oraz:

\(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}+a_{2}+...=0,1,1,1,3,3,3,3,3,6,6,6,...}\)

nasz ciąg jak widać na swoich "stopniach" czyli tam gdzie zaczynają się (jedynki, trójki, szóstki,...) i tam gdzie się kończą: (jedynki, trójki, szóstki,...)
będzie wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} , \frac{1}{4} }\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{5} , \frac{3}{9} }\)

\(\displaystyle{ \frac{6}{10} , \frac{6}{16} }\)

.....................................................

Łatwo teraz te dwa podciągi uogólnić:

\(\displaystyle{ 2,5,10,17,...= n^2+1}\)

\(\displaystyle{ 4,9,16,... =(n+1)^2}\)

Góra to też nic trudnego, ponieważ:

\(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n^2}= \frac{n^2+n}{2} }\)

czyli mamy dwa podciągi (górny i dolny):

\(\displaystyle{ \lim\inf_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{2(n^2+1)} = \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \lim\sup_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{2(n+1)^2} = \frac{1}{2} }\)

Znaczy, że ciąg ma granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n}= \frac{1}{2} }\)