Aproksymacja jedynki

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Aproksymacja jedynki

Post autor: a4karo »

Dla `n>1` zachodzą nierówności
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n<1<\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n.}\)
Ostatnio zmieniony 11 mar 2022, o 11:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Aproksymacja jedynki

Post autor: Premislav »

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną (równość nie zachodzi, bo \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n}\neq 1-\frac{1}{n^2}}\)):
\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n}<\frac{1+\frac{1}{n}+n\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{n+1}=1}\).

Ta druga nierówność wydaje się odrobinę subtelniejsza, jak coś wymyślę, to napiszę.

Dodano po 5 minutach 6 sekundach:
Dobra, wcale nie subtelniejsza, można skorzystać z nierówności Bernoulliego i wymnożyć: dla \(\displaystyle{ n>2}\) jest
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\ge \left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)>1}\), a przypadki \(\displaystyle{ n=1, \ n=2}\) można sprawdzić ręcznie. :P
ODPOWIEDZ