Matematyka.pl

Życie Nielsa Abla było zdominowane przez ubóstwo, a my zaczynamy od przedstawienia tego w kontekście, krótko przyglądając się problemom politycznym, które doprowadziły do problemów gospodarczych w Norwegii. Pod koniec 18wieku Norwegia była częścią Danii, a Duńczycy starali się pozostać neutralni poprzez wojny napoleońskie. Jednak traktat neutralności w 1794 roku został uznany przez Wielką Brytanię za akt agresywny i w 1801 roku flota brytyjska zniszczyła większość duńskiej floty w bitwie w porcie w Kopenhadze. Mimo to Dania i Norwegia unikały wojny do 1807 roku, kiedy to Wielka Brytania obawiała się, że duńska flota może zostać wykorzystana przez Francuzów do inwazji. Kierując się filozofią, że atak jest najlepszą formą obrony, Anglicy zaatakowali i zdobyli całą duńską flotę w październiku 1807 roku.
Dania dołączyła następnie do sojuszu przeciwko Wielkiej Brytanii. Mocarstwa kontynentalne zablokowały Wielką Brytanię, a w kontrze Wielka Brytania zablokowała Norwegię. Podwójna blokada była katastrofą dla Norwegii, uniemożliwiając eksport drewna, który w dużej mierze odbywał się do Wielkiej Brytanii, i uniemożliwiając import zboża z Danii. Nastąpił kryzys gospodarczy w Norwegii, a ludzie cierpieli głód i skrajne ubóstwo. W 1813 roku Szwecja zaatakowała Danię od południa, a na mocy traktatu w Kilonii w styczniu 1814 roku Dania przekazała Norwegię Szwecji. Próba uzyskania niepodległości przez Norwegię kilka miesięcy później doprowadziła do ataku Szwecji na Norwegię w lipcu 1814 roku. Szwecja uzyskała kontrolę nad Norwegią, ustanawiając kompletny wewnętrzny samorząd Norwegii z rządem w Christianii (która dziś nazywa się Oslo). W tym trudnym czasie Abel dorastał w Gjerstad w południowo-wschodniej Norwegii.

Wydaje się, że w tym czasie Abel wiedział coś o pracy Ruffiniego, ponieważ studiował pracę Cauchy'ego z 1815 roku, kiedy był studentem, aw tym artykule jest odniesienie do pracy Ruffiniego. Rozpoczyna się artykuł Abla z 1824 r. Geometrzy bardzo dużo zajmowali się ogólnym rozwiązywaniem równań algebraicznych, a kilku z nich próbowało udowodnić niemożliwość. Ale, jeśli się nie mylę, nie odnieśli sukcesu aż do chwili obecnej. Abel wysłał tę broszurę do kilku matematyków, w tym Gaussa , którego zamierzał odwiedzić w Getyndze podczas swoich podróży. W sierpniu 1825 r. Abel otrzymał od rządu norweskiego stypendium na wyjazd za granicę i po miesiącu załatwiania spraw wyruszył na kontynent z czterema przyjaciółmi, pierwszymi matematykami odwiedzającymi Norwegię i Danię. Po dotarciu do Kopenhagi Abel dowiedział się, że Degen zmarł i zmienił zdanie, by skorzystać z rady Hansteena i udać się bezpośrednio do Paryża, woląc nie podróżować sam i zostać z przyjaciółmi, którzy jechali do Berlina. Jak napisał w późniejszym liście:
Teraz jestem tak zbudowany, że nie mogę znieść samotności. Samotna, popadam w depresję, robię się kłótliwa i nie mam ochoty na pracę.
W Kopenhadze Abel otrzymał list polecający do Crelle od jednego z tamtejszych matematyków. Abel spotkał Crelle'a w Berlinie i obaj zostali bliskimi przyjaciółmi. Okazało się to najbardziej użyteczną częścią całej podróży Abla, zwłaszcza że Crelle miał właśnie rozpocząć wydawanie czasopisma poświęconego badaniom matematycznym. Crelle zachęcił Abla do napisania jaśniejszej wersji swojej pracy na temat nierozpuszczalności kwintyku, co zaowocowało Recherches sur les fonctions elliptiques, który został opublikowany w 1827 roku w pierwszym tomie Crelle's Journal , wraz z sześcioma innymi artykułami Abla. Podczas pobytu w Berlinie Abel dowiedział się, że stanowisko profesora matematyki na Uniwersytecie w Christianii, jedynym uniwersytecie w Norwegii, otrzymał Holmboë. Nie mając perspektyw na posadę uniwersytecką w Norwegii, Abel zaczął martwić się o swoją przyszłość.

Crelle's Journal nadal był źródłem artykułów Abla, a Abel zaczął pracować nad ustanowieniem analizy matematycznej na rygorystycznych podstawach. Napisał do Holmboë z Berlina:
Moje oczy zostały otwarte w najbardziej zaskakujący sposób. Jeśli pominąć najprostsze przypadki, w całej matematyce nie ma ani jednego nieskończonego szeregu, którego suma zostałaby ściśle określona. Innymi słowy, najważniejsze części matematyki nie mają podstaw. To prawda, że ​​większość z nich jest słuszna, ale jest to bardzo zaskakujące. Staram się znaleźć przyczynę tego, niezwykle interesujący problem.
Abel zamierzał pojechać z Crelle do Paryża i po drodze odwiedzić Gaussa w Getyndze. Do Abla dotarła jednak wiadomość, że Gauss nie jest zadowolony z przyjęcia jego pracy nad nierozpuszczalnością kwintyku, więc Abel zdecydował, że lepiej nie jechać do Getyngi. Nie jest pewne, dlaczego Gauss przyjął taką postawę wobec pracy Abla, skoro z pewnością nigdy jej nie przeczytał - gazeta została znaleziona nieotwarta po śmierci Gaussa . Ayoub podaje dwa możliwe powody:-
... pierwszą możliwością jest to, że Gauss sam udowodnił wynik i był gotów pozwolić Abelowi wziąć na siebie zasługę. ... Innym wyjaśnieniem jest to, że nie przywiązywał dużej wagi do możliwości rozwiązania przez radykałów ...
Drugie z tych wyjaśnień wydaje się bardziej prawdopodobne, zwłaszcza że Gauss napisał w swojej tezie z 1801 r., że algebraiczne rozwiązanie równania nie jest lepsze niż wymyślenie symbolu pierwiastka równania, a następnie stwierdzenie, że równanie ma pierwiastek równa symbolowi.
Crelle został zatrzymany w Berlinie i nie mógł podróżować z Abelem do Paryża. Dlatego Abel nie udał się bezpośrednio do Paryża, ale zdecydował się ponownie podróżować ze swoimi norweskimi przyjaciółmi do północnych Włoch przed przekroczeniem Alp do Francji. W Paryżu Abel był rozczarowany, gdy stwierdził, że jego praca nie cieszy się dużym zainteresowaniem.

Chociaż początkowo uczył się w domu, w wieku 13 lat Abel opuścił dom, aby dołączyć do swojego starszego brata Hansa w Christiania Cathedral School w Christianii (obecnie Oslo). Formalne warunki przyjęcia do szkoły były następujące:

1. Mieć co najmniej dziesięć lat
2. Być w stanie wykazać wgląd w historię i geografię
3. Biegła znajomość języka duńskiego i łaciny oraz
4. Zapoznać się z czterema gatunkami matematyki

Pomimo wiejskiego wychowania, Abel zakwalifikował się i wyjechał do stolicy w 1815 roku. Jego ojciec Søren pomógł mu znaleźć mieszkanie u kupca. Jego kwatera obejmowała mały pokój z łóżkiem, stołkiem, stołkiem i (być może) oknem z widokiem na dziedziniec stajni, gdzie konie i wozy przychodziły i odchodziły ze skrzyniami do pakowania i innymi towarami (Stubhaug, 1996). Ze względu na znaczny czas potrzebny na podróż (konno i bryczką lub saniami, w zależności od pory roku), Niels Henrik prawdopodobnie nie wrócił do domu, aby zobaczyć się z rodziną przez cały pierwszy i drugi rok w Christianii. Miał czternaście lat.
Jak pisze jego pośmiertny biograf Arild Stubhaug – na szczęście dla rozwijającego się protegowanego matematyki – ponad połowa 40-godzinnego tygodnia szkolnego Abla jako nastolatka była poświęcona językom. Obejmowały one lekcje języka duńskiego, a także nowożytnych języków obcych, takich jak niemiecki i francuski oraz oczywiście łaciny. Biegła znajomość takich języków była bez wątpienia kluczowa dla każdego początkującego naukowca epoki, ponieważ lingua matematyki w tym czasie była mieszanką francuskiego i niemieckiego.

W pierwszym roku nauczania w szkole został nauczycielem matematyki Nielsa Henrika Abela, który był tam uczniem od 1815 roku. Wszyscy zgadzają się, że nauczanie Holmboe było pierwszym krokiem do uczynienia Abla światowej klasy matematykiem, więc rozsądne jest krótkie spojrzenie na sposób, w jaki nauczał:
To unikalne symbole oddzieliły matematykę od wszystkich innych nauk. Dlatego ważne było, aby symbole te były uczone poprzez ćwiczenia i aby nauczyciel, poprzez ciągłe powtarzanie, uczył uczniów, aby rozumieli znaczenie notacji. ... Zanim Holmboe podjął się czegokolwiek, kazał uczniom powtórzyć słowami to, co wyrażało to stwierdzenie matematyczne; I odwrotnie: kiedy uczeń usłyszał zdanie wyrażone słowami, musiał nauczyć się zapisywać je w notacji matematycznej. Holmboe podkreślił, że nauczyciel musi przygotować podstawy, dzięki którym początkujący może łatwo uczyć się bez większego wysiłku, nie posuwając się zbyt szybko do przodu, nie pracując na zbyt abstrakcyjnym poziomie i lekceważąc najtrudniejsze zdania, dopóki nie nauczy się wszystkiego, co w nich zawarto.
Kiedy Holmboe napisał raport o swoim uczniu Ablu w czerwcu 1820 roku, był w pełni świadomy swojego potencjału, pisząc:
Z najbardziej niesamowitym geniuszem łączy w sobie zapał i zainteresowanie matematyką tak, że całkiem prawdopodobnie, jeśli przeżyje, stanie się jednym z wielkich matematyków.
Interesujące jest to, że Holmboe najpierw napisał "największy matematyk świata", a następnie zastąpił go skromniejszym "jednym z wielkich matematyków". Warto również zauważyć, że Holmboe był w pełni świadomy problemów zdrowotnych Abla w tym czasie. Relacja między Holmboe i Abelem wykraczała daleko poza relację nauczyciel-uczeń. Obaj stali się bliskimi przyjaciółmi, ale Abel poznał także rodzinę Holmboe, zwłaszcza trzech jego braci: Christopher Andreas uczył hebrajskiego na uniwersytecie, Henrik Ancher pracował w laboratorium chemicznym na uniwersytecie, a Hans Peder uczęszczał na te same zajęcia co Abel. Był wielokrotnie zapraszany do domu Holmboe w Eidsbergu, w szczególności spędzając tam bardzo szczęśliwy czas w Boże Narodzenie 1821 roku.

Latem 1825 r. Wyjechał do Kopenhagi, a stamtąd dotarł do Altony, gdzie spotkał astronoma Heinricha Christiana Schumachera, przyjaciela Gaussa. W październiku 1825 przyjeżdża do Berlina, by odwiedzić matematyka Augusta Leopolda Crelle. Kiedy Crelle rozmawia o matematyce ze swoim młodym rozmówcą, jego uwagę przykuwa. Kto rozważa utworzenie czasopisma naukowego poświęconego wyłącznie matematyce, szybko orientuje się, że ma przed sobą nieoszlifowany diament. W 1826 roku założył Journal für die reine und angewandte Mathematik , później znany jako Journal de Crelle , który byłby pierwszym czasopismem o badaniach matematycznych w Niemczech, który nie był kontrolowany przez żadną instytucję. W ciągu czterech miesięcy (Listopad 1825-Luty 1826) Abel pisze sześć artykułów, w tym:
Beweis der Unmöglichkeit der algebraischen Auflösbarkeit der allgemeinen Gleichungen, która zawiera dowód na niemożność rozwiązania równania piątego stopnia przez rodniki;
Über die binomische Reihe, gdzie stwierdzono i zademonstrowano kryterium sumowania Abla na szeregach częściowo zbieżnych.
Z uwagi na nieliczne artykuły przesłane do Crelle, jej założyciel zdecydował się otworzyć ją na języki inne niż niemiecki, z czego Abel skorzystał, aby zaprezentować i opublikować swoją pracę w języku francuskim. Relacja Crelle-Abel jest równie produktywna, jak symbiotyczna. Crelle, który przetłumaczył wiele ważnych tekstów matematycznych - z francuskiego na niemiecki - i ma wspaniałą bibliotekę, od razu oddaje ją do dyspozycji młodego Norwega, który czyta ostatnie prace Cauchy'ego i przyjmuje jego podejście. Stara się maksymalnie wydłużyć swój pobyt w Berlinie, ale w Niemczech miasto Getynga - gdzie mieszka Gauss - jest uważane za priorytetowy przystanek w podróży. Słysząc o nieprzyjemnym charakterze niemieckiego matematyka, postanawia przełożyć wizytę. Odwiedził Lipsk , a następnie spędził miesiąc we Freibergu - gdzie warunki wydawały się sprzyjające badaniom - i gdzie napisał swój artykuł na temat formuły pary. Wraz z elitą norweskiej młodzieży naukowej odwiedził Drezno, Pragę, Wiedeń, Graz, Triest, Wenecję, Weronę, Bolzano, Innsbruck, Dolomity i Bazyleę, skąd wznowił solową podróż do Paryża.

Rozczarowanie w Paryżu
Abel przybywa do Paryża latem 1826 r., Uniwersytet i jego biblioteka są zamknięte, zajęcia dobiegły końca. Widzi w tym okazję do lepszego przygotowania pierwszych wywiadów z paryskimi uczonymi, a także do ukończenia rozprawy o funkcjach eliptycznych, nad którą pracuje już od jakiegoś czasu. Jednocześnie pisze inne prace, które chciałby zobaczyć w Annales of Pure and Applied Mathematics (Francja), w Annales (Austria) oraz w Journal de Crelle. Spośród wszystkich rękopisów, które przygotowuje Abel, najbogatszym i najbardziej czasochłonnym jest wspomnienie Académie des sciences , Mémoire de Paris, jak zostanie nazwane pośmiertnie. Wciąż nieznany Abel nie udaje się nawiązać kontaktu z matematykami, których książki czytał, Adrien-Marie Legendre, Siméonem Denisem Poissonem i Augustinem Louisem Cauchy'm. O tym ostatnim pisał do Holmboë: Cauchy kultywuje ekstrawagancję, nie da się z nim dogadać, a przecież to on najlepiej wie, jak robić matematykę.
Aby zyskać uznanie, Abel przedkłada swoją dysertację w Akademii Nauk, która jest prezentowana na 30 października 1826 przez jej wieczystego sekretarza Josepha Fouriera , który czyta wstęp do rękopisu przed akademikami w obecności Abla. Korektę rękopisu powierzono Cauchy'emu i Legendre'owi , a wykonanie raportu Cauchy'emu. Będąc pod wrażeniem długości rozprawy i technicznego charakteru treści, francuski matematyk - którego utrzymanie zależało od własnej pracy - porzuca rękopis znajdujący się na dnie szuflady. W oczekiwaniu na zaproszenie, które nie nadeszło, Abel czyta nowe wydanie Traktatu o funkcjach eliptycznych Legendre i napisał dwa artykuły dla Journal Crelle , pierwsze strony jego obszernych wspomnień zatytułowanych Badania funkcji eliptycznych i opublikowanych w 1827 i 1828 roku. Zmęczony i z braku pieniędzy wyjechał z Paryża 29 grudnia 1826 i wypłynął do Berlina.

Z osobą Lagrange'a bezpośrednio wiążą się badania jego rodaka Ruffiniego, współczesne rozprawie Distiquisitiones; podejmując problem w tym miejscu, w którym pozostawił go Lagrange, mają one na celu dowód niemożliwości rozwiązania "przez pierwiastniki" równania "ogólnego" stopnia piątego. Dowód Ruffiniego, rozwlekły i niejasny, pozostaje niedokończony, choć kilkakrotnie poprawiany; jest on jednak bardzo zbliżony do dowodu (poprawnego jeśli chodzi o jego zasadę), jaki znajdzie później Abel. Jego główne znaczenie polega przede wszystkim na tym, że wprowadza działania na podstawieniach i pierwsze pojęcia teorii grup, którymi Ruffini posługuje się dla wykazania, że nie istnieje funkcja 5 pierwiastków równania przyjmująca więcej niż 2, a mniej niż 5 wartości przy dowolnych permutacjach pierwiastków.
Mówiliśmy o tym, że ten pierwszy zarys teorii grup permutacji w kilka lat później rozwinął i usystematyzował Cauchy. O ile jednak pojęcia potrzebne dla rozwinięcia idei Lagrange'a stopniowo tak się wyjaśniały, gdy chodziło o podstawienia, to należało jeszcze w sposób niemniej jasny sformułować pierwsze zasady teorii ciał. Nie było ich u Ruffiniego, a dokonają tego Abel i Galois w ostatniej fazie problemu rozwiązania równań algebraicznych.
Przez całe swe krótkie życie Abel nie przestaje zajmować się tym problemem. Jeszcze w dzieciństwie zdawało mu się, że otrzymał wzór na rozwiązanie przez pierwiastniki ogólnego równania stopnia piątego. Zauważywszy, później swój błąd, nie ustaje w w wysiłkach, dopóki nie uda mu się wykazać, że taki wzór nie istnieje. Ale nie poprzestaje na tym. O ile jego rywal Jacobi rozwija teorię funkcji eliptycznych jako analityk, to punkt widzenia algebraiczny przeważa w pracach Abela nad tym problemem, których głównym celem była teoria równań podziału funkcji eliptycznych. Otrzymuje w ten sposób nowe typy równań rozwiązalnych przez pierwiastniki, za pomocą metody wzorowanej na tej, której użył Gauss w teorii podziału koła; od rezultatu tego wznosi się do pojęcia równań "abelowych", o których dowodzi w sławnej rozprawie, że są rozwiązalne przez pierwiastniki; przy tej sposobności podaje ścisłą definicję pojęcia wielomianu nieprzywiedlnego nad danym ciałem (ciałem generowanym przez współczynniki badanego przez niego równania). Wreszcie śmierć powala go w roku 1829, w chwili gdy zajmował się ogólnym problemem charakteryzacji wszystkich równań rozwiązalnych przez pierwiastniki i właśnie przekazał Crellemu i Legendre'owi rezultaty już bardzo zbliżone do tych, jakie uzyskał Galois.

https://www.youtube.com/watch?v=jAXeBoAE98Q&ab_channel=WikiAudio

https://pl.mathigon.org/timeline