Matematyka.pl

Zbadaj liczbę i istnienie rozwiązań równania \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=a}\) w zależności od parametru a

Lewą stronę rozważanego równania będziemy interpretować jako sumę odległości punktu x na osi liczbowej od punktów -3 i 1. Odległość między punktami -3 i 1 jest równa 4. Dzielimy oś liczbową na trzy rozłączne przedziały: \(\displaystyle{ (-\infty, -3)}\), \(\displaystyle{ \langle -3, 1\rangle}\), \(\displaystyle{ (1, +\infty)}\). Rozważmy więc trzy przypadki:

1) Niech \(\displaystyle{ x\in (-\infty, -3)}\), oznaczmy \(\displaystyle{ |x+3|=d}\), \(\displaystyle{ d>0}\), wówczas \(\displaystyle{ |x-1|=d+4}\), zatem \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=d+d+4=4+2d>4}\)
Jeśli liczba x należy do przedziału \(\displaystyle{ (-\infty, -3)}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|}\) przyjmuje wartości większe od 4

2) Niech \(\displaystyle{ x\in \langle -3, 1\rangle}\), oznaczmy \(\displaystyle{ |x+3|=d}\), \(\displaystyle{ d\in\langle 0, 4\rangle}\), wówczas \(\displaystyle{ |x-1|=4-d}\), zatem \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=d+4-d=4}\)
Jeśli liczba x należy do przedziału \(\displaystyle{ \langle -3, 1\rangle}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|}\) przyjmuje wartość 4

3) Niech \(\displaystyle{ x\in (1, +\infty)}\), oznaczmy \(\displaystyle{ |x-1|=d}\), \(\displaystyle{ d>0}\), wówczas \(\displaystyle{ |x+3|=4+d}\), zatem \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=4+d+d=4+2d>4}\)
Jeśli liczba x należy do przedziału \(\displaystyle{ (1, +\infty)}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|}\) przyjmuje wartości większe od 4

Podsumujmy nasze rozważania:
a) jeśli \(\displaystyle{ a\in(-\infty, 4)}\), to równanie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=a}\) nie ma rozwiązań;
b) jeśli \(\displaystyle{ a=4}\), to rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=a}\) jest każda liczba z przedziału \(\displaystyle{ \langle -3, 1\rangle}\)
c) jeśli \(\displaystyle{ a\in(4, +\infty)}\), to równanie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=a}\) ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_2}\).

Moje pytanie brzmi jak wyprowadzić wzory na te dwa rozwiązania z punktu c, dlaczego w punkcie 2) \(\displaystyle{ d\in \langle0, 4\rangle}\) i dlaczego w punkcie a jest brak rozwiązań.

Rosed1993 pisze: ↑28 lut 2023, o 13:14Moje pytanie brzmi jak wyprowadzić wzory na te dwa rozwiązania z punktu c, dlaczego w punkcie 2) \(\displaystyle{ d\in \langle0, 4\rangle}\)

Narysuj to sobie.

Rosed1993 pisze: ↑28 lut 2023, o 13:14i dlaczego w punkcie a jest brak rozwiązań.

Przeczytaj jeszcze raz uważnie rozwiązanie: suma tych odległości jest \(\displaystyle{ \ge 4}\), więc nie może należeć do przedziału \(\displaystyle{ (-\infty,4).}\)

JK

Metoda graficzna

\(\displaystyle{ |x-(-3)| +|x -1| = a }\)

Na podstawie interpretacji geometrycznej (graficznej) wartości bezwzględnej jako odległości \(\displaystyle{ d }\) punktów na osi liczbowej - równanie możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ d(x,-3) + d(x,1) = a \ \ (1) }\)

1.
Jeśli \(\displaystyle{ a < -3 }\) to równanie jest sprzeczne ( rys.1)

2.
Jeśli \(\displaystyle{ a = 4 }\) to rozwiązania równania wypełniają przedział \(\displaystyle{ \langle -3, 1 \rangle. }\)

3.
Jeśli \(\displaystyle{ a > 4, }\) to istnieją dokładnie dwa pierwiastki, z których jeden leży na " lewo " od liczby \(\displaystyle{ 1, }\) drugi na "prawo" od liczby \(\displaystyle{ -3,}\) przy czym pierwszy wychyla się na odległość \(\displaystyle{ y, }\) drugi wychyla się od \(\displaystyle{ -3 }\) o odległość \(\displaystyle{ y.}\)

Szukamy watości \(\displaystyle{ y. }\)

Równanie \(\displaystyle{ (1) }\) po wprowadzeniu niewiadomej \(\displaystyle{ y }\) przyjmuje postać (rys.2)

\(\displaystyle{ y+4 +y = a }\)

\(\displaystyle{ 2y = a-4, \ \ y = \frac{a-4}{2} }\) i ostatecznie \(\displaystyle{ x = 1 +\frac{a-4}{2} = \frac{a-2}{2},}\)

lub

\(\displaystyle{ x = -3 - \frac{a-4}{2} = \frac{-2 - a}{2} = - \frac{a +2}{2}.}\)

Dla \(\displaystyle{ a > 4 }\) równanie spełnione jest przez liczby \(\displaystyle{ \frac{a-2}{2}, \ \ -\frac{a+2}{2}.}\)

Powyższa metoda rozwiązywania równań z wartością bezwzględną pochodzi od Pana dr Roberta Hajłasza.

Wprowadźmy zmienną `t=x+1`. Wtedy `x+3=t+2` i `x-1=t-2` i lewa strona przyjmuje postać
\(\displaystyle{ |2+t|+|2-t|=|2+|t||+|2-|t||=2+|t|+|2-|t||=\begin{cases}2+|t|+2-|t|=4 & \text{ gdy } |t|\le2\\2+|t|-2+|t|=2|t| & \text{ gdy } |t|>2.\end{cases}}\)

Stąd wniosek, że funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych niż `4`, wartość `4` przyjmuje nieskończenie wiele razy, a każdą wartość większą od `4` przyjmuje dwukrotnie.

Ta prosta metoda rozwiązywania równań z wartością bezwzględną pochodzi od dziadka Stopki z Murzasichla i była skutecznie stosowana przez Apollona Jeremiasza Hytza w pionierskich pracach z teorii pendologii.

Dodano po 1 godzinie 6 minutach 30 sekundach:
Wartośc bezwzględna jest funkcją ciągłą i różniczkowalną prawie wszędzie i
\(\displaystyle{ |x-a|'=\begin{cases}-1 & \text{ dla } x<a\\1 & \text{ dla } x>a\end{cases}}\),
zatem
\(\displaystyle{ \left(|x+3|+|x-1|\right)'=\begin{cases}-2 & \text{ dla } x<-3\\0 & \text{ dla } -3<x<1\\2& \text{ dla } x>1,\end{cases}}\)
skąd wniosek, że przyjmuje wartość `4` na odcinku `[-3,1]`, a każdą z wartości większych od `4` dokładnie dwa razy.

Ta prosta metoda rozwiązywania równań z wartością bezwzględną pochodzi od pierwszych europejskich osadników w Australii i była stosowana do obliczania czasu o jaki podróż na antypody skróciła im wyroki.