Matematyka.pl

Witam. Właśnie próbuję dojść, dlaczego w poniższych przykładach z podręcznika z wartości bezwzględnej raz podają "dla każdej liczby x należącej do przedziału..." a raz "jeśli liczba x...". Nie wiem zatem dlaczego raz w danym przedziale rozwiązaniem jest dowolne x a raz wybrany jeden x. Na obrazku zaznaczyłem to co trzeba. Przepraszam, że podaję link do zdjęcia ale miałem problemy z wstawieniem miniatury.
W kółku zaznaczyłem również miejsce gdzie nie rozumiem dlaczego w jednym przykładzie jest nierówność nieostra a w drugim ostra. Z góry dziękuję za pomoc

W tym kontekście trapiące Cię zwroty są synonimami, tj. oba z nich mówią, że rozpatrujemy każdą możliwą liczbę z podanego przedziału.

No właśnie chyba nie są synonimami, bo zobacz na strzałki. Tam gdzie wyżej jest "jeśli liczba x.." to niżej rozwiązaniem x jest konkretna liczba zależna od a. A gdy wyżej jest "dla każdej liczby x..." to niżej w podsumowaniu rozwiązaniem jest cały przedział, dowolny x z przedziału. I nie wiem od czego to zależy.

Ok, faktycznie wygląda na to, że autor książki tak używa wspomnianych wyrażeń, aby uwypuklić różnicę między przypadkami, kiedy funkcja jest stała na danym przedziale, i takimi, gdzie jest na nim różnowartościowa. Jednak nie byłoby żadnym błędem, gdyby stosował on zwroty "jeśli liczba x..." i "dla każdej liczby x..." zamiennie w dowolny sposób. Na przykład napisanie w przykładzie szóstym

Dla każdej liczby \(\displaystyle{ x}\) należącej do przedziału \(\displaystyle{ ( -3, 1 )}\) wyrażenie \(\displaystyle{ |x+3| - |x-1|}\) przyjmuje wartość z przedziału \(\displaystyle{ (-4, 4)}\).

byłoby całkowicie poprawne.

Różnica między przypadkami jest taka: jeśli na danym przedziale \(\displaystyle{ (x_1, x_2)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest stała, czyli przyjmuje wszędzie tę samą wartość \(\displaystyle{ a}\), to wtedy cały przedział \(\displaystyle{ (x_1, x_2)}\) będzie podzbiorem zbioru rozwiązań równania \(\displaystyle{ f(x) = a}\). Jeśli zaś na przedziale \(\displaystyle{ (x_1, x_2)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest różnowartościowa, czyli przyjmuje każdą wartość co najwyżej raz, a do tego owe wartości tworzą pewien przedział \(\displaystyle{ (b, c)}\), to dla wszystkich \(\displaystyle{ a \in (b, c)}\) równanie \(\displaystyle{ f(x) = a}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale \(\displaystyle{ (x_1, x_2)}\) - czyli rozwiązaniem jest jak to piszesz "konkretna liczba zależna od \(\displaystyle{ a}\)".

Podsumowując - to, czy rozwiązanie będzie przedziałem czy pojedynczą liczbą, zależy od wyniku analizy zachowania funkcji na odpowiednich przedziałach, a szczególnie od tego, czy jest na nich stała czy różnowartościowa. Nie ma na to żadnego wpływu którego ze zwrotów "jeśli liczba x..." albo "dla każdej liczby x..." się użyje, choć można stosować je nieprzypadkowo w celach stylistycznych, co właśnie uczynił tu autor.

Ahhh już rozumiem. Teraz jak na to patrzę to jest to banalnie proste. Dzięki za pomoc.
A jeśli chodzi o to zaznaczenie w kółku? Jak można szybko wywnioskować, czy d ma być większe od zera czy większe bądź równe zeru?

Na przedziale otwartym \(\displaystyle{ (-\infty, -3)}\) wyrażenie \(\displaystyle{ |x+3|}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ (0, \infty)}\), więc jeśli \(\displaystyle{ d = |x+3|}\), to \(\displaystyle{ d>0}\). Z kolei na przedziale domkniętym \(\displaystyle{ \left(-\infty, -3 \right>}\) ten moduł osiąga wartość zero (konkretnie dla \(\displaystyle{ x=-3}\)), a więc musi być \(\displaystyle{ d \ge 0}\).

Ale ty teraz to rozumowanie przeprowadziłeś jakby od końca. A oni już na samym początki wiedzą że d musi być większe od zera lub większe bądź równe. Może jak zrobię dzisiaj parę przykładów to mi się rozjaśni.

Co jest od końca - stwierdzenie, że dla \(\displaystyle{ x < -3}\) zachodzi \(\displaystyle{ |x+3| > 0}\)?

To może z drugiej strony. Nie rozumiem, dlaczego w pierwszym przykładzie przyjęli pierwszy przedział \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-3)}\) a w drugim przykładzie \(\displaystyle{ \left( - \infty ,-3 \right> }\) .
Rozumiem ze wartości \(\displaystyle{ d}\) wynikają z przyjętych przedziałów iksa, ale nie wiem skąd wynikają te przedziały iksa, czyli kiedy ma być przedział domknięty \(\displaystyle{ >}\), a kiedy otwarty \(\displaystyle{ )}\).

Co by się stało gdyby w pierwszym przykładzie dać przedział \(\displaystyle{ \left( - \infty ,-3 \right> }\) a w drugim \(\displaystyle{ \left( - \infty ,-3 \right) }\) ?

Dodano po 28 minutach 31 sekundach:
Ahh, chyba wiem. W pierwszym przykładzie w pierwszym podpunkcie mamy przedział \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ,-3\right) }\), dla którego przy wyznaczaniu wzoru na \(\displaystyle{ x }\)opuszczając moduł \(\displaystyle{ |x+3|}\) zmieniamy znaki na \(\displaystyle{ (-x-3)}\), a gdyby był to przedział domknięty czyli łącznie z \(\displaystyle{ -3}\) to wówczas moduł byłby równy \(\displaystyle{ 0}\) czyli nie trzeba by było zmieniać znaku przy opuszczaniu modułu. Więc żeby uniknąć tego zgrzytu daje się przedział otwarty. Tak to sobie tłumaczę.

Dodano po 9 godzinach 33 minutach 43 sekundach:
Nie. Jednak nie jestem pewien. Widzę wyjątki od mojej "teorii" w rozwiązaniach na internecie.